1.  平面上一凸四边形的面积是32,两对边与一对角线之和为16,求另外一个对角线的所有可能的长度。

2. 令P1(x) = x2 - 2, Pi+1 = P1(Pi(x)), i = 1, 2, 3, ...,求证对任何一个正整数n,方程式Pn(x) = x 的所有根都是互不相同的实数。

3. 一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满,如果用体积为2的正方体来尽量装填,使得每个边都与箱子的边平行,则恰能装满箱子的40%,求所有这种箱子的可能尺寸(长、宽、高)。

4.  试将1976分解成一些正整数之和,求这些正整数乘积的最大值,并加以证明。

5.  n是一个正整数,m = 2n, aij = 0、1或-1 (1 <= i <= n, 1 <= j <= m)。还有m个未知数x1, x2, ... , xm满足下面n个方程:

ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm = 0,

其中i = 1, 2, ... , n。求证这n个方程有一组不全为0的整数解(x1, x2, ... , xm)使得|xi|<= m。

6.  一个序列u0, u1, u2, ... 定义为:

u0= 2, u1 = 5/2, un+1 = un(un-12 - 2) - u1,n = 1, 2, ...

求证

[un] = 2(2n - (-1)n)/3,

其中[x]表示不大于x的最大整数。

 


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