1.  试找出所有定义在正实数并取值正实数的函数 f，使其满足 f(x(f(y)) = yf(x)对所有x, y成立，并且当 x 趋向于无穷大时 f(x) 趋向于0.

2.  圆C₁、C₂ 的圆心分别是O₁ 、O_2，它们相交于两个不同的点，设A是其中一个交点。这两个圆的一条公切线切C₁、 C₂ 分别于点 P_1、P₂，另外一条公切线分别切C₁、 C₂ 于点 Q_1、Q₂，再设M₁、M₂分别是P₁Q₁和P₂Q₂的中点，求证：角O₁AO₂ = 角 M₁AM₂。

3.  a , b, c是正整数，并且它们中的任何两个都没有大于1的公约数。求证 2abc - ab - bc - ca 是不能表示成形式xbc + yca + zab的最大整数，其中x, y, z是非负整数。

4.  等边三角形ABC，设集合E是该三角形的所有边界点（即边AB,BC,CA），任意将E分拆成两个不相交的子集合（它们的并集是E），试证明这两个集合中的至少一个包含有三点构成一直角三角形。

5.  问是否可能存在小于或等于10⁵的1983个不同的正整数，任何三个都不构成一等茶数列。

6. 设a,b,c是一个三角形的三边长，求证

a²b(a - b) + b²c(b - c) + c²a(c - a) >= 0.

并判断何时等号成立。