1.  圆内接四边形ABCD，现有一圆其圆心在边AB上并于其他三边相切，求证AD + BC = AB.

2. 设 k<n 时互素的两个正整数。将集合M = {1, 2, 3, ... , n-1} 中的每个数都染成蓝色或白色，保证 i和n-i的颜色相同，对于不等于k的i其颜色又与|i-k|的颜色相同。求证：M中所有数的颜色都相同。

3.  P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_kx^k 是整系数多项式，设其中系数为奇数的个数为o(P)。对于i = 0, 1, 2, ... ，记 Q_i(x) = (1 + x)ⁱ。求证如果i₁, i₂, ... , i_n都是整数并满足0 <= i₁ < i₂ < ... < i_n，则有

o(Q_i1 + Q_i2 + ... + Q_in) >= o(Q_i1).

4.  集合M由 1985个不同的正整数组成，且每个数都有一个大于23的素因子，求证M中存在4个元素的积是某个整数的4次方。

5.  圆心为O的一个圆经过三角形ABC的顶点A和C，并与AB,BC分别交于不同的两点K、N，三角形ABC的外接圆和三角形KBN的外接圆相交于两个不同的点B、M，求证角OMB是直角。

6.  对于任何一个实数 x₁，可通过递推式

x_n+1 = x_n(x_n + 1/n)

 构造序列 x₁, x₂, ...，求证存在唯一的一个x₁ 满足对所有的n都有 0 < x_n < x_n+1 < 1 成立。