1.  试证明集合{1,2,...,1989}可以分拆成117个子集合A₁,A₂,...,A₁₁₇ （即这些子集合互不相交且并集为整个集合），满足每个A_i包含17个元素，并且每个A_i中元素之和都相等。

2.  锐角△ABC，内角∠A的角平分线交△ABC的外界圆于A_1，类似定义B₁,C₁点。设AA₁与∠ B,∠C的外交平分线交于A₀点，类似定义B₀,C₀点。 

求证：△A₀B₀C₀的面积是六边形AC₁BA₁CB₁的 两倍也是△ABC面积的至少4倍。

3. 设n,k是正整数，S是由平面上n个点构成的集合并且无三线共点，对任何S中的点P至少存在S中的k个点与P等距离。

求证： k<1/2+√2n。

4. 凸四边形ABCD的边AB,AD,BC满足AB=AD+BC，四边形内部有一与直线CD距离为h的点P，并且AP=h+AD，BP=h+BC，

求证：1/√h<=1/√AD+1/√BC。

5. 试证明对每个正整数n，存在n个连续的正整数使得其中无素数或素数的幂。

6. 设{x₁,x₂,...,x_m} 是{1,2,...,2n}的一个排列，其中n是一个正整数。如果|x_i-x_i+1|=n对至少 {1,2,...,2n-1}中的一个i成立就说这个排列{x₁,x₂,...,x_m}具有性质P。 试证明对于任意的n，具有性质P的排列都比不具有的多。