1.  设a、b是常数，解方程组

x + y + z = a;     x² + y² + z² = b²;     xy=z²

并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？

2.  设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证：

a² + b² + c² >= 4√3 A.

并求出等号何时成立。　

3.  解方程 cosⁿx - sinⁿx = 1, 其中n是一个自然数。

4.  P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。

5.  作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = a,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是

b tan(a/2) <= c < b.

又问上式何时等号成立。

6. 三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。在p上任意取三个点A', B', C'， A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么？