1. 设n是给定的正整数，T是一个集合，其元素是平面上满足x,y是非负整数且x+y<n的点(x,y)。T中的点均被染上红色或蓝色，满足：如果(x,y)是红色，则所有满足x'≤x且y'≤y的点(x',y')也都染成红色。如果n个蓝点的横坐标各不相同，则称由这n个蓝点组成的集合为一个X-集；如果n个蓝点的纵坐标各不相同，则称这n个蓝点所组成的集合为Y-集。

求证：X-集的个数和Y-集的个数相同。

2. BC为圆O的直径，A为⊙O上的一点，0^o<∠AOB <120^o, D是弧AB（不含C的弧）的中点，过O平行于DA的直线交AC 于I，OA的垂直平分线交⊙O于E、F，

求证：I是△CEF的内心。

3. 找出所有的正整数对m,n≥3，是的存在无穷多个正整数a，使(a^m +a-1)/(aⁿ +a²-1)为整数。

4. 设n为大于1的整数，全部正因数为d₁,d₂,...,d_k， 其中1=d₁ < d₂ < ... < d_k=n，

记D=d₁d₂+d₂d₃+...+d_k-1d_k。

5. 找出所有从实数集R到R的函数f，使得对所有x,y,z∈R，有

(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)。

6. 设Γ₁，Γ₂，...,Γ_n是平面上半径为1的圆，其中n≥3，记他们的圆心分别为O₁,O₂,...,O_n。假设任意一条直线都至多和两个圆相交或相切，

求证：

∑_i<j 1/O_iO_j ≤ (n-1)π/4 。