1.   (a)  求所有正整数 n 使得  2ⁿ - 1 能被 7整除；

   (b) 求证不存在正整数 n 使得 2ⁿ + 1 能被 7 整除。

2.  假设a、b、c是某三角形的三边长，求证：

a²(b + c - a) + b²(c + a - b) + c²(a + b - c) <= 3abc.

3.  三角形ABC的三边长为别为a、b、c。分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a,b,c表示）。

4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。

5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。

6.四面体ABCD的中心是D₀ ，分别过A、B、C作 DD₀ 的平行线，这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点 A₀、 B₀、 C₀，求证：ABCD的体积是A₀B₀C₀D₀的三分之一；再问如果 D₀ 为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？