1.  在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。请问有多少学生只答对B？

2.  三角形ABC，如果，

BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).

则该三角形为等腰三角形。

3.  求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。

4.  对任何自然数 n以及满足 sin 2ⁿx 不为 0 的实数x，求证：

1/sin 2x + 1/sin 4x + ... + 1/sin 2ⁿx = cot x - cot 2ⁿx.

5.   a_i （i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4）

|a_i - a₁| x₁ + |a_i - a₂| x₂ + |a_i - a₃| x₃ + |a_i - a₄| x₄ = 1。

6.  在三角形ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M，求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。