机密★启用前 【考试时间：5月5日 15:00～17:00】
昆明市2008~2009学年高三复习适应性检测
理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 ，共60分）
注意事项：
1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的考号、姓名，在规定的位置贴好条形码。
2． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷上的答案无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）函数
的定义域是
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）若复数
满足
，则在复平面内所对应的点在
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）函数
的最小正周期是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）焦点在
轴上，中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为
，若该椭圆的离心率为
，则椭圆的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）若把汽车的行驶路程
看作时间
的函数，下图是函数
在
上的图像，则在上汽车的行驶过程为
（A）先加速行驶、然后匀速行驶、再加速行驶
（B）先减速行驶、然后匀速行驶、再加速行驶
（C）先加速行驶、然后匀速行驶、再减速行驶
（D）先减速行驶、然后匀速行驶、再减速行驶
（6）若
+
+…+
+
+
，则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）在公差不为零的等差数列
中，
，
、、
成等比数列.若
是数列的前
项和，则
是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）2名医生和4名护士分配到两所社区医院进行“健康普查”活动，每所医院分配1名医生和2名护士的不同分配方案共有
（A）6种 （B）8种 （C）12种 （D）24种
（9）若函数
存在反函数，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）在正
中，
为
边上的高，
为边
的中点.若将沿翻折成直二面角
，则异面直线与
所成角的大小为
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）已知点
，直线
，
是坐标原点，
是直线
上的一点，若
，则
的最小值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）若是实数，则关于
的方程组
有四组不同实数解的一个充分非必要条件是
（A）
（B）
（C） 
（D）
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理科数学试卷
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷共3页，10小题 ,用黑色碳素笔将答案答在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案直接答在答题卡上。
（13）抛物线
的焦点坐标为
.
（14）已知三棱柱
的侧棱长与底面边长都相等，
在底面
的射影是
的中点，则
与侧面
所成角的正切值等于
.
（15）某实验室至少需某种化学药品
种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为 元.
（16）观察以下等式
1=1
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64
… …
写出一个等式，使之既包含以上四式、又具有一般性质.这个等式是：
.
（17）（本小题10分）
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
在中，、
、
分别是角
、
、
的对边，且
.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积是
，且
，求.
（18）（本小题12分）
如图，四棱锥
的底面
是正方形，
面．
（Ⅰ）证明：平面
平面
；
（Ⅱ）设
．为
的中点，求二面角
的大小．
（19）（本小题12分）
某工厂新开发的一种产品有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若恰有一项技术指标达标的概率为
，至少有一项技术指标达标的概率为
．检验规定两项技术指标都达标的新产品为合格品.
（Ⅰ）求一件新产品经过检测为合格品的概率
；
（Ⅱ）工厂规定：若每生产一件合格的新产品，该工人将获得奖金100元；若生产一件不合格的新产品，该工人将被罚款50元．该工人一个月能生产新产品20件，求该工人一个月获得奖金的数学期望．
（20）（本小题12分）
已知双曲线焦点在轴上、中心在坐标原点，左、右焦点分别为
、
，
为双曲线右支上一点，且
，
．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设
,过的直线与双曲线的两渐近线分别交于、两点，
与
同向，
的面积为
．若
，求的斜率
的取值范围．
（21）（本小题12分）
已知函数
.
（Ⅰ）当
时，若函数
在
上为增函数，求实数的最小值；
（Ⅱ）设函数的图像关于原点对称，在点
处的切线为，与函数的图像交于另一点
.若
在轴上的射影分别为
、
，
，求
的值.
(22)（本小题12分）
已知数列
中，
，
．
（Ⅰ）求、
；
（Ⅱ）求
；
(Ⅲ) 设为数列
的前n项和，证明：
．
昆明市2008~2009学年高三复习适应性检测
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
（1）B （2）A （3）B （4）A （5）C （6）D
（7）A （8）C （9）B （10）A （11）D （12）B
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）
（14）
（15）
（16）
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分）
（Ⅰ）解法一：由正弦定理得
.
故 
，
又 
，
故 
，
即 
，
故 
.
因为 
，
故 
，
又 
为三角形的内角，
所以
. ………………………5分
解法二：由余弦定理得 
.
将上式代入
整理得
．
故 ，
又 为三角形内角，
所以 ．
………………………5分
（Ⅱ）解：因为
．
故 
，
由已知 
得
又因为 
.
得 
，
所以
，
解得
. ………………………………………………10分
（18）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
∵
面
，
面，
∴
．
又∵底面是正方形，
∴
．
又∵
，
∴
面
，
又∵面
，
∴平面
平面． ………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系
．
设
，则
，在
中，
.
∴
、
、
、
、
、
．
∵
为
的中点，
，
∴
．
设
是平面
的一个法向量．
则由
可求得
.
由（Ⅰ）知
是平面的一个法向量，
且
，
∴
，即
.
∴二面角
的大小为
． ………………………………………12分
解法二：
设，则，
在中，.
设
，连接
，过
作
于
，
连结
，由（Ⅰ）知
面
.
∴在面上的射影为
，
∴
．
故
为二面角
的平面角.
在
中，
，
，
．
∴
，
∴
.
∴
.
即二面角的大小为． …………………………………12分
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：设
、两项技术指标达标的概率分别为
、
．
由题意得：
…………2分
∴
．
即一个零件经过检测为合格品的概率为
. …………6分
（Ⅱ）设该工人一个月生产的20件新产品中合格品有
件，获得奖金
元，则
． ………………8分
～
，
,
………………10分
．
即该工人一个月获得奖金的数学期望是800元． ………………12分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设双曲线方程为
，
，
由
，
及勾股定理得
，
由双曲线定义得 
．
则
．
………………………………………5分
（Ⅱ）
，
，故双曲线的两渐近线方程为
．
因为
过
， 且
与
同向，故设的方程为
，
则
又
的面积
，所以
．
可得与
轴的交点为
．
设与
交于点，与
交于点，
由
得
；由
得
．
故
，
，
，
从而
．
故
的取值范围是
. …………………………12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
，
．
又因为函数
在
上为增函数，
在上恒成立，等价于
在上恒成立.
又
，
故当且仅当
时取等号，而
，
的最小值为
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由已知得：函数
为奇函数，
， 
， ………………………………7分
.
切点为
，其中
，
则切线的方程为：
……………………8分
由
，
得
.
又
，
，
，
，
或
，由题意知，
从而
.
，
，
.
………………………………………12分
（22）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解: 由
，
得
，
. …………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）归纳得
， ………………………4分
用数学归纳法证明:
①当
时，成立.
②假设
时，
成立，
那么
所以当
时，等式也成立.
由①、②得对一切
成立. ……………8分
（Ⅲ）证明: 设
，则
，
所以
在
上是增函数．
故
．
即
．
因为
，
故
．
=
.…………12分
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