广东省湛江师范学院附中2009年高考模拟试题(11)
数学
一.选择题(每小题5分共40分)
1.对任意实数,“”是“”的 D
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.已知角的终边经过点,则角的最小正值是 B
A. B. C. D.
3.已知直线是异面直线,直线分别与都相交,则直线的位置关系
A.可能是平行直线 B.一定是异面直线
C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能 C
4.在样本的频率分布直方图中,一共有个小矩形,若中间某一个小矩形的面积等于其余个
小矩形面积和的,且样本容量为160,则中间这一组的频数是 A
A.32
B
5.展开式中项的系数等于数列的第三项,其中,则C
A.-9 B
6.过点C(1,2)作直线,使其在两坐标轴上的截距相等,则满足条件的直线的斜率为 C
A.-1
B.±
7.已知实数,满足则的最小值是 A
A. B. C. D.
8.设M是具有以下性质的函数f(x)的全体:对于任意s>0,t>0,都有f(s)+f(t)<f(s+t).
给出函数下列判断正确的是 C
A. B.
C. D.
第II卷(非选择题 满分110分)
二.填空题(每小题5分共30分)
9.若数列是等差数列,且,则______.
10.已知满足,则的取值范围是______.
11.P是椭圆上的任意一点,F1、F2是它的两焦点,O为坐标原点,,则
动点Q的轨迹方程是 .
12.已知,设,则的表达式为
______,猜想的表达式为____________.
13.(坐标系与参数方程选做题)设直线参数方程为(为参数),则它的截距式方程为
14.(不等式选讲选做题)已知,则的最大值为 .
15.(几何证明选讲选做题) 如图,⊙O的直径=
三.解答题(本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知函数;
(Ⅰ)当时,求的单调递增区间;
(Ⅱ)当时,且的最小值为2,求的值.
17.(13分)某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A、B两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.
(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少?
(Ⅱ)任意依次抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件是合格品的概率是多少?
(Ⅲ)任意依次抽取该种零件4个,设表示其中合格品的个数,求.
18.(14分)如图,某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作:先在地平面内作菱形ABCD,边长为1,∠BAD=60°,再在的上方,分别以△与△为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD,∠APB=90°.
(Ⅰ)求证:PQ⊥BD;
(Ⅱ)求二面角P-BD-Q的余弦值;
(Ⅲ)求点P到平面QBD的距离.
19.(13分)设函数
(Ⅰ)若,函数是否有极值,若有则求出极值,若没有,请说明理由.
(Ⅱ)若在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围.
20.(14分)设点动圆P经过点F且和直线相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.
(Ⅰ)求曲线W的方程;
(Ⅱ)过点F作互相垂直的直线,分别交曲线W于A,B和C,D.求四边形ABCD面积的最小值.
21.(14分)在直角坐标平面上有一点列 对一切正整数n,点
Pn在函数的图象上,且Pn的横坐标构成以为首项,-1为公差的等差数列{xn}.
(Ⅰ)求点Pn的坐标;
(Ⅱ)设抛物线列C1,C2,C3,…,Cn,…中的每一条的对称轴都垂直于x轴,抛物线Cn的顶点为Pn,
且过点Dn(0,).记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn,求
DBCA CCAC 9.-4 10.[-1,0] 11. 12.,
13. 14.,当且仅当时“=”成立,
15.解析:连接OC,PC是⊙O的切线,∴∠OCP=Rt∠.∵30°,OC==3,
∴,即PC=.
16.解:(Ⅰ)
…………………3分
由,得:
∴的单调递增区间为,……………………6分
(Ⅱ)∵ ∴ ∴ …………10分
∴的最小值为,∴=2 …………………12分
17. 解:(Ⅰ)设、两项技术指标达标的概率分别为、 …………2分
由题意得: …………5分
解得:或,∴.
即,一个零件经过检测为合格品的概率为. …………7分
(Ⅱ)任意抽出5个零件进行检查,其中至多3个零件是合格品的概率为
…………10分
(Ⅲ)依题意知~B(4,),. …………13分
18.解:(Ⅰ)由P-ABD,Q-CBD是相同正三棱锥,可知△PBD与△QBD是全等等腰三角形 …1分
取BD中点E,连结PE、QE,则BD⊥PE,BD⊥QE.故BD⊥平面PQE,从而BD⊥PQ. ………4分
(Ⅱ)由(1)知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角 ……………………5分
作PM⊥平面,垂足为M,作QN⊥平面,垂足为N,则PM∥QN,M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心,从而点A、M、E、N、C共线,PM与QN确定平面PACQ,且PMNQ为矩形. …………6分
可得ME=NE=,PE=QE=,PQ=MN=…7分∴cos∠PEQ= ………9分
(Ⅲ)由(1)知BD⊥平面PEQ.设点P到平面QBD的距离为h,则
∴.
∴ . ∴ . …………………………14分
19.解:(Ⅰ); …………3分
\函数没有极值. ……………………6分
(Ⅱ)定义域为.令
要使在单调,只需恒成立 …………………8分
当p=0时,; \函数在单调递减 ………10分
当时,,即, …………12分
当时,在上单调递减,又满足题意,综上 …14分
20.解:(Ⅰ)过点P作PN垂直于直线于点N,依题意得 …… 1分
所以动点P的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线 …… 3分
即曲线W的方程是 …………5分
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