第五节  用函数的观点看方程（组）或不等式

【回顾与思考】

【例题经典】

利用一次函数图象求方程（组）的解

例1   （1）（2006年陕西省）直线y=kx+b（k≠0）的图象如图1，则方程kx+b=0的解为       x=_______，不等式kx+b<0的解集为x_______．

      （1）                      (2)                     (3)

    【点评】抓住直线与x的交点就可迎刃而解．

    （2）（2006年重庆市）如图2,已知函数y=ax+b和y=kx的图象，则方程组的解为_______．

    【点评】两直线的交点坐标即为方程组的解．

利用二次函数的图象求二元二次方程的根或函数值的取值范围

 例2  （2006年吉林省）已知二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）和直线y₂=kx+b（k≠0）的图象如图3，则当x=______时，y₁=0；当x______时，y₁<0；当x______时，y₁>y₂．

    【点评】抓住抛物线与x轴的交点和直线与抛物线交点来观察分析．

利用函数与方程、不等式关系解决综合问题

例3  某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10^-3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示．当成人按规定剂量服药后:

    （1）分别求出x≤2和x≥2时x与y之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？

    【点评】从图中提供有效信息建立函数关系，并转化为不等式为解决．

【考点精练】

基础训练

1．（2006年广西省）已知y=-2x+m，当x=3时，y=1，则直线y=-2x+m与x轴的交点坐标为_______．

2．若直线y=x-2与直线y=-x+a相交于x轴，则直线y=-x+a不经过的象限是_____．

3．若不等式kx+b>0的解集为x>-2，则直线y=kx+b与x轴的交点为_____．

4．（2006年衡阳市）如图，直线y₁=k₁x+b₁与直线y₂=k₂x+b₂交于点（-2，2），则当x____时，y₁<y₂．

   (第4题)              (第7题)                  (第8题)

5．若方程2x²+bx+c=0有两个不相等的实数根，则抛物线y=2x²+bx+c与x轴有____个交点．

6．直线y=ax+b与y=ax²+bx+c（a≠0）的交点为（-1，2）和（3，-4），则方程组 的解为_________．

7．函数y=kx+b（k、b为常数）的图象如图，则关于x的不等式kx+b>0的解集为（  ）

    A．x>0     B．x<0     C．x<2     D．x>2

8．（2006年安徽省）已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y₁=k₁x+a₁和y₂=k₂x+a₂，图象如图所示，设所挂物体质量为2kg时，甲弹簧长为y₁，乙弹簧长为y₂，则y₁与y₂的大小关系为（  ）

    A．y₁>y₂     B．y₁=y₂    C．y₁<y₂    D．不能确定

9．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（  ）

A．①②    B．②③④    C．②③    D．①②③

10．（2006年江苏省）如图，L₁反映了某公司的销售收入与销售量的关系，L₂反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系．当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量应（  ）

A．小于3吨    B．大于3吨    C．小于4吨    D．大于4吨

                (第9题)                       (第10题)

能力提升

11．如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图象．

    （1）根据图象，求k，b的值；

    （2）在图中画出函数y=-2x+2的图象；

（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．

12．育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商家购买，每件需要8元；方案2：学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y₁，y₂（元）．

    （1）分别写出y₁，y₂的函数表达式；

    （2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？

（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由．

13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多出售2件．

    （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

14．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象），根据图象解答下列问题：

    （1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

    （2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？

（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？

应用与探究

15．如图所示，设田地自动喷灌水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流是抛物线状，喷头B和水流最高点C的连线与水平地面成45°角，点C比B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到点A的距离是多少？

16．（2006年南京市）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽是x米．

    （1）求y与x之间的关系式；

    （2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．

答案:

例题经典 

例1：（1）-2  x>-2  （2）

例2：（1）-5或1  （2）x<-5或x>1  （3）-5<x<0

例3：（1）x≤2时，y=3x；x≥2时，y=-=6小时

考点精练 

1．（，0）  2．第三象限  3．（-2，0） 

4．x>-2  5．两  6． 

7．C  8．A 9．D  10．D 

11．（1）k=1，b=2  （2）图略 

（3）由x+2>-2x+2得x>0

12．（1）y₁=8x，y₂=4x+120．

（2）y₁=y₂，则x=30．

（3）当x=50时，y₁=400，y₂=320，

∴y₂<y₁选用方案（2）便宜．

13．（1）设应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，x₁=10，x₂=20，

∵尽快减少库存，

∴x取20，即应降价20元．

（2）设盈利为y，则y=（40-x）（20+2x），

即y=-2x²+60x+800=-2（x-15）²+1250，

当每件降15元时，商场平均每天盈利最多．

14．（1）设表示轮船行驶过程的函数解析式为y=kx，

当x=8时，y=160，

∴8k=160，k=20，即y=20x，

快艇行驶过程的函数关系式为y=40x-80．

（2）由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，轮船速度为20千米/时，快艇速度为40千米/时．

（3）快艇出发2小时赶上轮船．

15．解析式为y=-（x-2）²+3.5（x≥0），

当y=0时，x=2±（舍负），∴AD=（2+）米．

16．（1）y=240x²+180x+45 

（2）当y=195时，x₁=，x₂=-（舍去），

当x=时，2x≥1，即镜子的长为1米，宽为米．