初三数学复习教学案

第6讲 一元二次方程及应用

【回顾与思考】

【例题经典】

掌握一元二次方程的解法

例1  解方程：

    （1）3x²+8x-3=0；（2）9x²+6x+1=0；（3）x-2=x（x-2）；（4）x²-2x+2=0

会判断一元二次方程根的情况

例2  不解方程判别方程2x²+3x-4=0的根的情况是（  ）

    A．有两个相等实数根；    B．有两个不相等的实数根；

    C．只有一个实数根；      D．没有实数根

  【点评】根据b²-4ac与0的大小关系来判断

一元二次方程的应用

例3  （2006年包头市）某印刷厂1月份印刷了书籍60万册，第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？

  【点评】设2、3月份平均每月的增长率为x，即60+60（1+x）+60（1+x）²=200

【基础训练】

1．（2006年温州市）方程x²-9=0的解是（  ）

    A．x₁=x₂=3           B．x₁=x₂=9       C．x₁=3，x₂=-3       D．x₁=9，x₂=-9

2．下列方程中肯定是一元二次方程的是（  ）

    A．-ax²+bx+c=0       B．3x²-2x+1=mx²     C．x+=1         D．（a²+1）x²-2x-3=0

3．（2006年广州市）一元二次方程x²-2x-3=0的两个根分别为（  ）

    A．x₁=1，x₂=-3       B．x₁=1，x₂=3

C．x₁=-1，x₂=3       D．x₁=-1，x₂=-3

4．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm²，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）

    A．x²+130x-1400=0     B．x²+65x-350=0

C．x²-130x-1400=0     D．x²-65x-350=0

5．两圆的半径分别是方程x²-3x+2=0的两根．且圆心距d=1，则两圆的位置关系是（  ）

A．外切       B．内切       C．外离         D．相交

6．（2006年常德市）已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是_______（填上你认为正确的一个方程即可）．

7．方程（x-2）（x-3）=6的解为______．

8．（2006年成都市）已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台．

9．若一个等腰三角形三边长均满足方程x²-6x+8=0，则此三角形的周长为_____．

【能力提升】

10．方程（m+1）^|m|+1+（m-3）x-1=0．

    （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；

（2）m取何值时，方程是一元一次方程．

11．解下列方程：

（1）x²-12x-4=0；                 （2）（2006年浙江省）x²+2x=2；

（3）（2006年芜湖市）x²-4x-12=0；  （4）（x+1）²-4=0

12．（2006年黄冈市）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？

13．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？

请你利用方程解决这一问题．

14．（2006年重庆市）机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．

    （1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？

    （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？

【应用与探究】

15．填空：

  （1）方程x²+2x+1=0的根为x₁=____，x₂=_____，则x₁+x₁=______，x₁?x₂=_____；

  （2）方程x²-3x-1=0的根为x₁=____，x₂=_____，则x₁+x₂=______，x₁?x₂=_____；

  （3）方程3x²+4x-7=0的根为x₁=_____，x₂=_____，则x₁+x₂=______，x₁?x₂=_____．

    由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题

已知2+是方程x²-4x+C=0的一个根求方程的另一个根及C的值．

答案：

例题经典 

例1：（1）x₁=-3，x₂=  （2）x₁=x₂=-  （3）x₁=1，x₂=2  （4）x₁=+，x₂=- 例2：B  例3：设增长率为x列方程60+60（1+x）+60（1+x）²=200

考点精练 

1．C  2．D  3．C  4．B  5．B 

6．略  7．x₁=0，x₂=5  8．10%，146  9．6或10或12 

10．（1）m=1，x₁=  （2）m=0或m=-1 

11．（1）x₁=6+2，x₂=6-2 

（2）x₁=-1+，x₂=-1-  （3）x₁=6，x₂=-2，（4）x₁=-3，x₂=1 

12．设百分率为x，则200（1-x）²=128，

解之得x₁=1.8（舍去），x₂=0.2，即百分率为20% 

13．设售价为x元，则（x-30）[600-（x-40）×10]=10000，

解得x=50，x=80，即售价为50元时进500个．售价为80元时进200个． 

14．解：（1）由题意，得70×（1-60%）=70×40%=28（千克）．

（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克．

由题意，得：x×[1-（90-x）×1.6%-60%]=12，

整理得x-65x-750=0，解得：x₁=75，x₂=-10（舍去），（90-75）×1.6%+60%=84%．

答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克．（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%． 

15．（1）x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2，x₁?x₂=1 

（2）x₁=，x₁+x₂=3，x₂=-1

 （3）x₁=1，x₂=-，x₁+x₂=-，x₁?x₂=- 

猜想：ax²+bx+c=0的两根为x₁与x₂，则x₁+x₂=-，x₁?x₂=，

应用：另一根为2-，C=1