数学20分钟专题突破14

空间向量与立体几何

一.选择题

1．下列命题中，假命题是（     ）

（A）a、b是异面直线，则一定存在平面过a且与b平行

（B）若a、b是异面直线，则一定存在平面过a且与b垂直

（C）若a、b是异面直线，则一定存在平面与a、b所成角相等

（D）若a、b是异面直线，则一定存在平面与a、b的距离相等

   2  下列命题中，真命题是（     ）

（A）       若直线m、n都平行于，则

（B）       设是直二面角，若直线则

（C）       若m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且，则或

（D）       若直线m、n是异面直线，，则n与相交

   3．如果直线与平面满足：那么必有（     ）

（A）                    （B）

（C）                    （D）

4．设是两个不重合的平面，m和是两条不重合的直线，则的一个充分条件是（     ）

（A）且         （B）且

（C）且               （D）且

5．已知直二面角，直线直线且m、n均不与垂直，则（     ）

（A）m、n可能不垂直，但可能平行        （B）m、n可能垂直，但不可能平行

（C）m、n可能垂直，也可能平行          （D）m、n不可能垂直，也不可能平行

6．二面角是直二面角，如果∠ACF＝30那么（     ）

（A）                                （B）

（C）                                 （D）

二.填空题

1.13.已知正四棱锥P―ABCD的高为4，侧棱长与底面所成的角为，则该正四棱锥的侧面积是                   ．

2.已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：

①若，则；               ②若，则；

③若上有两个点到的距离相等，则；  ④若，则。

   其中正确命题的序号是          

3.正三棱锥高为2，侧棱与底面成角，则点A到侧面的距离是     

三.解答题

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E―AF―C的余弦值.

答案：

一.选择题

1.选B      2.选C       3.选A      4选C      5.选A       6.选D

二.填空题

1.         2. ②④       3.

三.解答题

（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为      E为BC的中点，所以AE⊥BC.

     又   BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而    PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以  当AH最短时，∠EHA最大，

即     当AH⊥PD时，∠EHA最大.

此时    tan∠EHA=

因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以    PA=2.

解法一：因为   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

        所以   平面PAC⊥平面ABCD.

        过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

        过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

       在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

       又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

       又    

       在Rt△ESO中，cos∠ESO=

       即所求二面角的余弦值为

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以

E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），

所以    

设平面AEF的一法向量为

则      因此

取

因为  BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以   BD⊥平面AFC，

故     为平面AFC的一法向量.

又     =（-），

所以  cos＜m, ＞=

因为   二面角E-AF-C为锐角，

所以所求二面角的余弦值为