江苏省南通市2009届高三第一次调研测试
数 学
必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．
命题“
R，
”的否定是 ▲ ．
2．
若集合A=
，B=
满足A∪B=R，A∩B=
，则实数m= ▲ ．
3．
若
是纯虚数，则实数a的值是 ▲ ．
4． 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，
则判断框中的整数M的值是 ▲ ．
5．
若函数
（a为常数）在定义域上为
奇函数，则k= ▲ ．
6． 若直线
和圆O：
没有公共点，
则过点
的直线与椭圆
的交点个
数为 ▲ ．
7．
曲线C：
在x=0处的切线方程
为 ▲ ．
8． 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，
则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是
▲ ．
9．
已知集合
，集合
，在集合A中任取
一个元素p，则p∈B的概率是 ▲ ．
10．设实数
满足
则
的取值范围是
▲ ．
11．已知a，b为不共线的向量，设条件M：
；条件N：对一切
，不等式
恒成立．则M是N的 ▲ 条件．
12．已知数列{an}中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(n>m)满足
，则a119= ▲
．
13．已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如右图所示，
其中四边形
是边长为
图的面积为 ▲ cm2．
14．约瑟夫规则：将1，2，3，…，n按逆时针方向依次放置
在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个
删除一个数，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1，
3，5，7，…．当
时，剩余的一个数为
▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，ｂ，ｃ．向量m =
,
n=
满足m//n.
（1）求
的取值范围；
（2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围.
16．（本小题满分14分）
在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAD⊥平面ABCD.
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）若平面PAB
平面PCD
，问：直线l能否与平面ABCD平行？
请说明理由.
17．（本小题满分15分）
设a为实数，已知函数
.
（1）当a=1时，求函数
的极值．
（2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围．
18．（本小题满分15分）
如图，椭圆
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，
且
.
（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为
，MN的最小值为
，求椭圆方程.
19．（本小题满分16分）
下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为
Aij.
1 4 7 10 13 …
4 8 12 16 20 …
7 12 17 22 27 …
10 16 22 28 34 …
13 20 27 34 41 …
… … … …
（1）证明：存在常数
，对任意正整数i、j，
总是合数；
（2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列
. 试证不存在正整数k和m
，使得
成等比数列；
（3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r 
，使得
成等差
数列．若存在，写出
的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.
（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：
① f(x)＝ ； ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)).
（2）若函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.
附加题部分
21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
A.
选修4－1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点
，D为
的中点，过点D引
割线交⊙O于
、
两点．求证: 
．
B. 选修4－2：矩阵与变换
已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点
变成了点
，点
变成了点
，求矩阵M.
C. 选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (2，
)，半径R=
，求圆C的极坐标方程.
D. 选修4－5：不等式选讲
已知
，求证：
.
22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示
.
纪念币
A
B
C
概 率
a
a
将这三个纪念币同时投掷一次, 设
表示出现正面向上的个数.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率
(i=0，1，2，3)中, 若
的值最大, 求a的取值范围.
23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知
．用数学归纳法证明：
.
南通市2009届高三第一次调研测试
必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
【填空题答案】
1．
R，
;
2．3;
3．1；
4．5；
5．
；
6．2；
7．y=2x+3； 8．1.5； 9．
；
10．
；
11．充要；
12．－1； 13．
； 14．2．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，ｂ，ｃ．向量m =
,
n=
满足m//n.
（1）求
的取值范围；
（2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围.
【解】(1)因为m//n， 所以
，
………………………2分
因为三角形ABC的外接圆半径为1, 由正弦定理，得
.
于是
.
因为
. 故三角形ABC为直角三角形. ………………………5分
, 因为
，
所以
, 故
. ………………………7分
(2)
.
………………………9分
设
，则
，
…………………… 11分
，因为
＜0，故在（1，
]上单调递减函数.
所以
.所以实数x的取值范围是
.
…………………… 14分
16．（本小题满分14分）
在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAD⊥平面ABCD.
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）若平面PAB
平面PCD
，问：直线l能否与平面ABCD平行？
请说明理由.
（1）【证明】因为∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.
而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,
所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA. ………………3分
同理可得AB⊥PA. ………………5分
由于AB、AD
平面ABCD，且ABAD=C,
所以PA⊥平面ABCD. ………………………7分
（2）【解】（方法一）不平行. ………………………9分
证明：假定直线l∥平面ABCD,
由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以
∥CD. ……………………
11分
同理可得l∥AB, 所以AB∥CD. …………………… 13分
这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,
故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行. …………………… 14分
（方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,
所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T.
…………………… 11分
由T
CD，CD平面PCD得T平面PCD.
同理T平面PAB.
…………………… 13分
即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.
所以直线与平面ABCD不平行.
…………………… 14分
17．（本小题满分15分）
设a为实数，已知函数
.
（1）当a=1时，求函数
的极值．
（2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围．
【解】(1)依题有
，
故
.
………………………2分
由
x
0
2
+
0
－
0
+
ㄊ
极大值
ㄋ
极小值
ㄊ
………………………5分
得在
时取得极大值
，在
时取得极小值
. …………7分
(2) 因为
，
………………………9分
所以方程
的两根为a－1和a+1，
显然，函数在x= a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值. …………………… 11分
因为方程=0有三个不等实根，
所以
即
解得
且
.
故a的取值范围是
.
…………………… 15分
18．（本小题满分15分）
如图，椭圆
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，
且
.
（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；
（2）设椭圆的离心率为
，MN的最小值为
，求椭圆方程.
【解】（1）设椭圆的焦距为
则其右准线方程为x＝
，且F1(－c, 0), F2(c,
0). ……………2分
设M
，
则
＝
.
………………………4分
因为，所以
，即
.
于是
，故∠MON为锐角.
所以原点O在圆C外. ………………………7分
（2）因为椭圆的离心率为，所以a=
于是M 
，且
………………………9分
MN2＝(y1－y2)2＝y12+y22－2y1y2
. …………………… 12分
当且仅当 y1＝－y2＝
或y2＝－y1＝时取“=”号， ……………………
13分
所以(MN)min=
故所求的椭圆方程是
.
…………………… 15分
19．（本小题满分16分）
下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为
Aij.
1 4 7 10 13 …
4 8 12 16 20 …
7 12 17 22 27 …
10 16 22 28 34 …
13 20 27 34 41 …
… … … …
（1）证明：存在常数
，对任意正整数i、j，
总是合数；
（2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列
. 试证不存在正整数k和m
，使得
成等比数列；
（3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r 
，使得
成等差
数列．若存在，写出
的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．
（1）【证明】因为第一行数组成的数列{A1j}(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，
所以A1 j＝1+(j－1)×3＝3 j－2，
第二行数组成的数列{A2j}(j＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列，
所以A2 j＝4+(j－1)×4＝4 j． ………………………2分
所以A2 j－A1 j＝4 j－(3 j－2)＝j＋2，
所以第j列数组成的数列{ Aij}(i＝1,2，…)是以3 j－2为首项，公差为 j＋2的等差数列，
所以Aij＝3 j－2＋(i－1) ×(j＋2) ＝ij＋2i＋2j－4
＝(i＋3) (j＋2) 8． ……………5分
故Aij＋8=(i＋3) (j＋2)是合数．
所以当
＝8时，对任意正整数i、j，总是合数
………………………6分
（2）【证明】(反证法)假设存在k、m，
，使得
成等比数列，
即
………………………7分
∵bn＝Ann ＝(n+2)2－4
∴
得
，
即
，
………………………10分
又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，
∴
，这与
∈Z矛盾，所以不存在正整数k和m，使得成等比数列．……………………12分
（3）【解】假设存在满足条件的
，那么
即
.
…………………… 14分
不妨令
得
所以存在
使得成等差数列．
…………………… 16分
（注：第（3）问中数组
不唯一，例如
也可以）
20．（本小题满分16分）
如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.
（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：
① f(x)＝ ； ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)).
（2）若函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.
（1）【答】f(x)＝ 是保三角形函数，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.
【证明】① f(x)＝ 是保三角形函数.
对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .
因为(＋)2＝a＋2＋b＞c＋2＞()2，所以＋＞.
同理可以证明：＋＞，＋＞.
所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x)＝ 是保三角形函数. ………………4分
②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. 取
，显然这三个数能作为一个
三角形的三条边的长. 而sin
＝1，sin
＝，不能作为一个三角形的三边长.
所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. ………………………8分
(2)【解】M的最小值为2. …………………… 10分
(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数.
对任意一个三角形三边长a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.
因为a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna＋lnb＞lnc.
同理可证明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.
所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.
故函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函数. …………………… 13分
(ii)其次证明当0<M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.
当0<M＜2时，取三个数M，M，M2∈［M，＋∞)，
因为0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，
而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，
所以h(x)＝lnx 不是保三角形函数.
所以，当M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.
综上所述：M的最小值为2. …………………… 16分
附加题部分
21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
E.
选修4－1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点
，D为
的中点，过点D引
割线交⊙O于
、两点．求证: 
．
【证明】因为与圆相切于，
所以
， ………………………2分
因为D为PA中点，所以DP=DA，
所以DP2=DB?DC，即
． ………………………5分
因为
，
所以
∽
，
………………………8分
所以． ……………………
10分
F. 选修4－2：矩阵与变换
已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点
变成了点
，点
变成了点
，求矩阵M.
【解】设
，
………………………2分
则由
，
，
………………………5分
得
………………………8分
所以
因此
.
…………………… 10分
G. 选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (2，
)，半径R=
，求圆C的极坐标方程.
解法一：设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，则PC=
R=. ……………………4分
由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－)=5.
……………………8分
化简，得ρ2－4ρcos(θ－)＋1=0，此即为所求的圆C的方程. ……………………10分
解法二：将圆心C (2，)化成直角坐标为(1，
)，半径R=，
……………………2分
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2=5.
……………………4分
再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2+(ρcosθ－)2=5. ……………………6分
化简，得ρ2－4ρcos(θ－)＋1=0 ，此即为所求的圆C的方程. ……………………10分
H. 选修4－5：不等式选讲
已知
，求证：
.
【证明】因为
………………………3分
………………………7分
所以
.
故.
…………………… 10分
22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示
.
纪念币
A
B
C
概 率
a
a
将这三个纪念币同时投掷一次, 设
表示出现正面向上的个数.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率
(i=0，1，2，3)中, 若
的值最大, 求a的取值范围.
【解】(1)
是
个正面向上,
个背面向上的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.
,
,
,
.
………………………4分
所以的分布列为
的数学期望为
.
………………………5分
(2) 
,
,
.
由
和
，得
,即a的取值范围是
. …………………… 10分
23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知
．用数学归纳法证明：
.
【证明】（1）当n=2时，左边－右边＝
，不等式成立.
………………………2分
（2）假设当n=k（
）时，不等式成立，即
同步练习册答案
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