正方形的性质与判定

（1）(2008年沈阳市)如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于点，连接，则图中全等三角形共有（  C  ）

A．1对              B．2对              C．3对              D．4对

（2）（2008年江苏省无锡市）如图，分别为正方形的边，，，

上的点，且，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（　A　）

Ａ．         Ｂ．         Ｃ．         Ｄ．

（3）（2008广州市）如图2，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（   C ）

  A      B  2    C     D

图2

（4）(2008黑龙江哈尔滨)如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（  D  ）．

    （A）3cm（B）4cm

    （C）5cm（D）6cm

（5）(2008年天津市)如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若，，，则GF的长为  3    ．      

（6）（2008佛山12）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，

则∠ACP度数是  22.5 °       ．

（7）（2008佳木斯市9）下列各图中，   ③       不是正方体的展开图（填序号）．

（8）（2008湖北孝感）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部  

分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）。如果小正方形

面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为θ，那么=  0.6   。

。

（9）（2008四川内江）如图，在的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是          个．（14个）

11．（2008年山东省青岛市）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．

（1）求证：△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由

解：（1）证明：∵四边形为正方形

∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°

                ∵CG＝CE，

∴△BCG≌△DCE

（2）答：四边形E′BGD是平行四边形

理由：

∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′

∴CE＝AE′

∵CG＝CE

∴CG＝AE′

∵AB＝CD，AB∥CD，

∴BE′＝DG，BE′∥DG，

∴四边形E′BGD是平行四边形  

12.（2008年江苏省无锡市）如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：．

解法一：矩形中，，

，，

解法二：矩形中，

，，

．

20.（2008湖北襄樊）如图12，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG、DE.

（1）观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.

（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.

解：（1）BG=DE

 ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°）

∴△BCG≌△DCE

∴BG=DE

（2）存在. △BCG和△DCE

△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合

23．（2008泰州市）在矩形ABCD中，AB=2，AD=．

（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分）

（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．

①求证：点B平分线段AF；（3分）

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．（4分）

解：（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC

由∠D=90⁰ ，DE=1，AD=，推得DEA=60⁰，

同理，∠CEB=60⁰ ，从而∠AEB=∠CEB=60⁰ ，即EB平分∠AEC

（2）① ∵CE∥BF

∴== ∴BF=2CE

∵AB=2CE，

∴点B平分线段AF

②能。

证明：∵CP=，CE=1，∠C=90⁰

∴EP=。

在Rt △ADE中，AE=  =2

∴AE=BF，

又∵PB=，

∴PB=PE

∵∠AEP=∠BP=90⁰ ，

∴△PAS≌△PFB。

∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。

旋转度数为120⁰ 

28.（2008湖北黄冈）已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．

解：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴  AD=CD  ,∠A=∠DCF=90⁰

又∵ DF⊥DE，

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3

∴ ∠1=∠2

在Rt△DAE和Rt△DCE中，

∠1=∠2

AD=CD

∠A=∠DCF

∴ Rt△DAERt△DCE

∴ DE=DF．

33. (2008黑龙江黑河)已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．

当绕点旋转到时（如图1），易证．

（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

.

 解：（1）成立．

如图，把绕点顺时针，得到，

则可证得三点共线（图形画正确）

证明过程中，

证得：

证得：

（2）

34.（2008广东肇庆市）如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.

（1）求证AE=BF；

（2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长.

解：（1）∵  等腰Rt△ABC中，∠90°，

∴  ∠A＝∠B                                         

∵ 四边形DEFG是正方形，

∴  DE＝GF，∠DEA＝∠GFB＝90°

∴  △ADE≌△BGF

∴  AE＝BF

（2）∵ ∠DEA＝90°，∠A=45°

∴ ∠ADE=45°

∴ AE＝DE．    同理BF＝GF

∴  EF＝AB===cm

∴ 正方形DEFG的边长为

36.（2008湖南益阳市） △ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.

   Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；

Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.

Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.

设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .

Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：

         ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；

②连结BF’并延长交AC于F；

③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.

你认为小明的作法正确吗？说明理由.

Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，

∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°

             ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°

             ∴△BDG≌△CEF(AAS)

    Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，

求得

　　　　　　　　　　                  由△AGF∽△ABC得：

解之得：(或)

解法二：设正方形的边长为x，则

　　　　　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=，

∴

解之得：(或)

解法三：设正方形的边长为x，

则

                    由勾股定理得：

                    解之得：

Ⅱb.解： 正确

            由已知可知，四边形GDEF为矩形

                   ∵FE∥F’E’ ，

∴，

同理，

∴

                   又∵F’E’=F’G’，

∴FE=FG

因此，矩形GDEF为正方形

38．（2008年上海市）如图11，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求证：四边形是正方形．

证明：（1）四边形是平行四边形，

又是等边三角形，

，即

平行四边形是菱形

（2）是等边三角形，

，

，

．

四边形是菱形，

四边形是正方形