专题二 集合 函数 不等式 导数

一 能力培养

 1,函数与方程思想;         2,数形结合思想;          3,分类讨论思想;

4,运算能力;               5,转化能力.

二 问题探讨

[问题1] 已知,,分别就下面条件求的

取值范围:

  (I);(II).

[问题2]求函数的单调区间,并给予证明.

[问题3]已知.

  (I)若在定义域R内单调递增,求的取值范围;

  (II)若在上单调递减,在上单调递增,求的值;

  (III)设在(II)的条件下,求证的图象恒在图象的下方.

[问题4]设.

  (I)试判断的单调性;

  (II)若的反函数为,证明只有一个解;

  (III)解关于的不等式.

三 习题探讨

选择题

1已知函数,则的单调减区间是

A,      B,      C,      D,

2已知集合M={,N={,下列法则不能构成M到N的映射的是

A,       B,     C,   D,

3已知函数，奇函数在处有定义，且时,

，则方程?的解的个数有

A,4个            B,2个          C,1个          D,0个

4如果偶函数在上的图象如右图,则在

上,=

A,      B,     C,      D,

5设函数,已知,则的取值范围为

A,      B,      C,     D,

6对于函数,有下列命题:①是增函数,无极值;②是减函数,

无极值;③的增区间是,,的减区间是(0,2);④是极

大值,是极小值.其中正确的命题有

 A,一个              B,二个             C,三个             D,四个

填空题

7函数的定义域是                    .

8已知,则                 .

9函数单调递增区间是                       .

10若不等式对满足的恒成立,则实数

的取值范围是                      .

11在点M(1,0)处的切线方程是                      .

解答题

12函数的定义域为集合A,函数的定义域

 集合B,当时,求实数的取值范围.

13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线与线段AB有两个不同的

 交点,求的取值范围.

14已知定义在R上的函数,满足:,且时,,

 .

 (I)求证:是奇函数;  (II)求在上的最大值和最小值.

15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和

描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的

兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用表

示学生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力越强),表示提出和讲授

概念的时间(单位:分),可有以下公式:

  (I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间?

  (II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些?

  (III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直

  达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?

16已知函数,其中,为自然对数的底数.

(I)讨论函数的单调性;(II)求函数在区间[0,1]上的最大值.

问题1:

,.

由有

 得  与,矛盾!

故当时,的取值范围是;

(II)解:,

,

由必有,得

或

得 (舍去)或

得

故当时, 的取值范围是.

温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友      空集.

问题2:解:(1)当时,,     令,得

它的定义域是,                得的单调增区间是,

   它分别在,上为增函数. 的单调减区间是.

(2)当时,的定义域是,    (3)当时,的定义域是,

 令,得或      得的单调增区间是.

温馨提示:①对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法,

         ②()为增(减)函数,反之不行;

         ③以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用.

问题3:解:(I),得.

 在R上单调递增,恒成立,即,恒成立

又时,,得.

(II),

而在上单调递减,得在上恒成立,有,

 又当时, ,得          ①

又在上单调递增,得在上恒成立,有,

 又当时,,得         ②

由①,②知.

(III)由(II)可知是的最小值,有,

而,

故,即的图象恒在图象的下方.

温馨提示:恒成立时,转化为进行考虑,合情合理.

问题4:(I)解:的定义域是,得

 所以在上是减函数.

(II)证明:假设存在且,使,,则有

 ,,于是得,与矛盾!

所以只有一个实根.

(III)解:由(II)得,即,

又=

而在上是减函数,得,有或.

即的解集是.

温馨提示:为增(减)函数(),反之不行.

习题1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.

1,,有,2,我们由映射的概念:每一个,有唯一的

由,得                    一个与它对应.知,A,B,D.都满足.

函数为上的增函数,          而在C中,M中的1与对应,

求的单调减区间,                  但,在N中找不到了.选C.

即求的单调减区间,于是选C.

3,设,则,得=,有,

(1)当时,由,得

,解得,.

(2)当时,由,得,无解.

(3)当时,由,得,无解.选B.

4,由,,知只有C正确.

5,当与时,均合题意,而时,,不合题意,选B.6,③④正确.选B.

7,令,得,,得.

8,令,有,,得,[0,2].

9,令,得.而它在上递增,在上递减,

而当时,,ㄊ,ㄊ,ㄋ;当时,ㄊ,ㄊ,ㄊ;

当时,ㄊ,ㄋ,ㄋ.于是得递增区间是.

10,设,,由题意,当时,的图象总在的图象的

下方.当时,显然不合题意;当时,必有,,

得,又,于是.   11, =

=,得,有x+2y-1=0.

12,解:,而,

,

又由题意知,且,,

解得,故的取值范围是.

温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留意到了没有?

13,解:过A,B两点的直线方程为,令,则这方程有两相异实根

,且.设,则问题等价于

,解得.所以的取值范围是.

14,解:(I)由,令,得,

又令,有,得,于是,.

所以是奇函数.

(II)又时,

设,则=

而,得,有,即

得在R上是减函数,于是它在上有最大值,最小值

而,=6.

所以在R上有最大值6,最小值.

15,解:(I)当时,

,得递增, 最大值为59.

当时,递减,

因此,开讲后10分钟,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6分钟.

(II),

因此开讲后5分钟,学生的接受能力比开讲后20分钟强一些.

16,解:(I).

①当时,令,得.

若,则,从而在上单调递增;

若,则,从而在上单调递减;

②当时,令,得=0,有.

若或,则,从而在,上单调递减;

若,则,从而在上单调递增;

(II)①当时,在区间上的最大值是;

②当时,在区间上的最大值是;

③当时,在区间上的最大值是.