专题12 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法

一 能力培养

1,归纳猜想证明       2,转化能力       3,运算能力        4,反思能力

二 问题探讨

问题1数列{}满足,,().

(I)求{}的通项公式;          (II)求的最小值;

(III)设函数是与的最大者,求的最小值.

问题2已知定义在R上的函数和数列{}满足下列条件:

, (=2,3,4,),,

=(=2,3,4,),其中为常数,为非零常数.

(I)令(),证明数列是等比数列;

(II)求数列{}的通项公式;   (III)当时,求.

问题3已知两点M,N,且点P使,,成公差小

于零的等差数列.

(I)点P的轨迹是什么曲线? (II)若点P坐标为,记为与的夹角,求.

三 习题探讨

选择题

1数列的通项公式,若此数列满足(),则的取值范围是

A,           B,           C,         D,

2等差数列,的前项和分别为,,若,则=

A,               B,            C,          D,

3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是

A,      B,       C,     D,

4在等差数列中,,第10项开始比1大,记,则的取值范围是

A,         B,       C,        D,

5设A,B,C是椭圆)上三个点,F为焦点,

若成等差数列,则有

A,      B,      C,      D,

6在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为

第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是

A,钝角三角形      B,锐角三角形      C,等腰直角三角形     D,以上都不对

填空

7等差数列前()项和,且前6项和为36,后6项和为180,则    .

8,则            .

9在等比数列中,,则的取值范围是               .

10一个数列,当为奇数时,;当为偶数时,.则这个数列的前

项之和                     .

11等差数列中,是它的前项和且,,则①此数列的公差,

②,③是各项中最大的一项,④一定是中的最大项,其中正确的是      .

解答题

12已知,且组成等差数列(为正偶数).

又,,(I)求数列的通项;(II)试比较与3的大小,并说明理由.

13已知函数是偶函数,是奇函数,正数数列满足

,.

(I)若前项的和为,求;

(II)若,求中的项的最大值和最小值.

14. 已知等比数列的各项不为1的正数,数列满足(且

),设,.

(I)求数列的前多少项和最大,最大值是多少?

(II)设,,求的值.

(III)试判断,是否存在自然数M,使当时恒成立,若存在求出相应的M;若不存

在,请说明理由.

15设函数的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数,,都有

,且存在,使得,数列中,,,

求证:对于任意的自然数,有: (I); (II).

问题1解:(I),得=

当时,=,有,即.

于是=.又,得=.

由于也适合该式,故=.

(II)==

所以当或50时,有最小值.

(III)因是与的最大者,有,

有==1.

问题2(I)证明:由,得.

由数学归纳法可证().

而,当时,

因此,数列是一个公比为的等比数列.

(II)解:由(I)知,

当时,

当时,()

而,有

当时,= ;当时,=.

以上两式对时也成立,于是

当时,=

当时,=.

(III)解:当时,.

问题3解:(I)设点P(),由M,N得

,,

有,,.

于是,,成公差小于零的等差数列等价于

,即

所以点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆C.

(II)设P(),则由点P在半圆C上知,

又==,

得,  又,,有,

,,由此得.

习题解答:

1由,恒成立,有,得,选D.

2,选B.

3设三边长分别为,且

①当时,由,得;

②当时,由,得,于是得,选D.

4由,且,而,

又,于是,选D.

5由椭圆第2定义得,选A.

6由条件得,有,.

得,于是为锐角三角形,选B.

7由,有

,即=216,得=36,

又,解得.

8,得.

9由条件知,公比满足,且,当时,;

当时,.于是的取值范围是.

10当为奇数时,相邻两项为与,由得

=10,且.所以中的奇数项构成以为首项,公差的等差数列.

当为偶数时,相邻两项为与,由= ,得,且

所以中的偶数项构成以为首项,公比的等比数列.

由此得.

11由,得,有;;是中的最大值,选①②④.

12解:(I)由=,再依题意有=,即①

又,为正偶数)得,代入①有.

(II),

得

于是.

13解: (I)可得,,由已知,得

,而,有,于是.

(II),

由知的最大值为,最小值为.

14解: (I),设

有,又成等差数列.

,得,.

当时,即,得.

于是前12项和最大,其最大值为144.

(II),,得,

,于是

(III)由(I)知当时,恒成立,由,得.

(i)当且时,有,

(ii)当且时,,

故当时,在使时,恒成立;当时不存在自然数M,使当

时.由明

15证明:用数学归纳法

(I)当时,命题成立.

假设当()时,成立,那么当时,由,

得,又,有,

而,得,

于是,即,又,

有,即,于是当时,命题也成立.

综上所述,对任意的,.

(II)由,得,

又,得,

又,得,即,

有,而,得,

故.由明