专题13 三角 平面向量 复数

一 能力培养

1,数形结合思想       2,换元法       3,配方法       4,运算能力      5,反思能力

二 问题探讨

问题1设向量,,

求证:.

问题2设,其中向量,,

(I)若且,求;       (II)若函数的图象

按向量平移后得到函数的图象,求实数的值.

问题3(1)当,函数的最大值是        ,最小值是         .

      (2)函数的最大值是                 .

      (3)当函数取得最小值时,的集合是          .

      (4)函数的值域是                        .

问题4已知中,分别是角的对边,且,=

,求角A.

三 习题探讨

选择题

1在复平面内,复数对应的向量为,复数对应的向量为,

那么向量对应的复数是

A,1              B,             C,            D,

2已知是第二象限角,其终边上一点P(),且,则=

A,          B,             C,            D,

3函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是

A,            B,              C,              D,

4已知向量,向量,向量,则向量

与向量的夹角的取值范围是

A,         B,          C,        D,

5已知,,且与的夹角为钝角,则的取值范围是

A,        B,           C,         D,

6若是三角形的最小内角,则函数的值域是

A,       B,          C,        D,

填空题

7已知,则=           .

8复数,,则在复平面内的对应点位于第     象限.

9若,则=           .

10与向量和的夹角相等,且长度为的向量               .

11在复数集C内,方程的解为                     .

解答题

12若,求函数的最小值,并求相应的的值.

13设函数,,若当时,

恒成立,求实数的取值范围.

14设,且,复数满足,求的最大值与最小值勤.

15已知向量,,且

(I)求及;         (II)求函数的最小值.

16设平面向量,.若存在实数和角,

使向量,,且.

(I)求函数的关系式;  (II)令,求函数的极值.

问题1证明:由,且

得=   ①

在①中以代换得=.

即.

温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等问题.

问题2解:(I)可得

由=1,得

又,得,有=,解得.

(II)函数的图象按向量平移后得到函数,

即的图象.也就是=的图象.

而,有,.

问题3解:(1)

而,有,

当,即时,;当,即时,.

(2),令,则,有

,得

令,有,

①当时,,为增函数;②当时,,为减函数.

=,而,

于是的最大值是.

(3)

当,即时,.

(4)可得,有

得,有,

得,又,于是有的值域是.

问题4解:由已知得,即,又

得,.

又得由余弦定理.

得,.

由正弦定理得,有.

又,得为最大角.

又,有,于是.

所以得.

习题:1得,,选D.

2 ,又,得或(舍去),

有,,选A.

3它的对称轴为:,即,有,选A.

4(数形结合)由,知点A在以

(2,2)为圆心,为半径的圆周上(如图),过原点O作

圆C的切线,为切点,由,

知,有,

过点O作另一切线,为切点,则,选D.

5由,,设与的夹角为,则,

有,即,得,有,选A.

6由,令而,得.

又,得,

得,有,选D.

7显然且,有,

当时,,有,于是,得,则

得到,

当时,同理可得.

8 ,它对应的点位于第一象限.

9由,得,有,即.

则,原式=.

10设,则,.

设与,的夹角分别为,则,

由,得=①;由=,得.②

由①,②得, ,,于是或

11设,,代入原方程整理得

有,解得或,所以或.

12解:

令,得

由,得,有,.

于是当,即,得时,.

13解:由,知是奇函数,

而

得在R上为增函数,则有

,令有

,恒成立.①

将①转化为:,

(1)当时,;

(2)当时,,由函数在上递减,知

当时,,于是得.

综(1),(2)所述,知.

14解:设,由得,

得

由,得,从而,

设在复平面上的对应点分别为,由条件知W为

复平面单位圆上的点,的几何意义为单位圆上的点W到点Z的距离,所以

的最小值为;最大值为.

15解(I),

,得

().

(II)

当且仅当时,.

16解:(I)由,,得

=,即,得

.

(II)由,得

求导得,令,得,

当,,为增函数;当时,,为减函数;

当时,,为增函数.

所以当,即时,有极大值;当,即时,有极小

值.