专题16 空间向量 简单几何体
一 能力培养
1,空间想象能力 2,数形结合思想 3,转化能力 4,运算能力
二 问题探讨
问题1(如图)在棱长为1的正方体ABCD中,
(1)求异面直线B与C所成的角的大小;
(2)求异面直线B与C之间的距离;
(3)求直线B与平面CD所成的角的大小;
(4)求证:平面BD//平面C;
(5)求证:直线A平面BD; (6)求证:平面AB平面BD;
(7)求点到平面C的距离; (8)求二面角C的大小.
问题2已知斜三棱柱ABCD的侧面AC
与底面垂直,,,,
且AC, A=C.
(1)求侧棱A和底面ABC所成的角的大小;
(2)求侧面AB和底面ABC所成二面角的大小;
(3)求顶点C到侧面AB的距离.
三 习题探讨
选择题
1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四
面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一
个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为,则以四个氢原子为顶点
的这个正四面体的体积为
A, B, C, D,
2夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之
比为
A,3:2:1
B,2:3:
3设二面角的大小是,P是二面角内的一点,P点到的距离分别为
A, B, C, D,
4如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC
的中点,且DEEF.若BC=,则此正三棱锥的体积是
A, B,
C, D,
5棱长为的正八面体的外接球的体积是
A, B, C, D,
填空题
6若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面
的位置关系是 .
7若异面直线所原角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为
2和平共处的两点,当时,线段AB的长为 .
8如图(1),在直四棱柱中,当底面四边形满足条件
时,有C(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
9如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:
①AB与EF所连直线平行; ②AB与CD所在直线异面;
③MN与BF所在直线成; ④MN与CD所在直线互相垂直.
其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)
解答题
10如图,在中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分别交AB,AC于D,E.将沿
DE折起来使得A到,且为的二面角,求到直线BC的最小距离.
11如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.
(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;
(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.
问题1(1)解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,有(1,0,1),B(1,1,0),(1,1,1),C(0,1,0)
得,,设与所成的角为,则
,又,得
所以异面直线B与C所成的角的大小为.
(2)设点M在B上,点N在C上,且MN是B与C的公垂线,令M,
N,则
由,得,解得,
所以,得,即异面直线B与C之间的距离为.
(3)解:设平面CD的法向量为,而,由,,
有,得,于是,
设与所成的角为,则
,又,有.
所以直线B与平面CD所成的角为.
(4)证明:由//C,C平面C,得//平面C,
又BD//,平面C,得BD//平面C,
而,于是平面BD//平面C.
(5)证明:A(1,0,0),(0,1,1),,,
有及,得
,,,
于是,直线A平面BD.
(6)证明:由(5)知平面BD,而平面AB,得平面AB平面BD.
(7)解:可得C=C==,有
由,得,即,得
所以点到平面的距离为.
(8)解:由(3)得平面CD的法向量为=,它即为平面的法向量.
设平面的法向量为,则,
又
由,得,所以
设与所成的角为,则
所以二面角的大小为.
问题2解:建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知A,B(0,0,0),C(0,2,0).
又由面AC面ABC,且A=C,知点,,
平面ABC的法向量.
(1),得
于是,侧棱和底面ABC所成的角的大小是.
(2)设面AB的法向量,则由
得,.于是,,又平面ABC的法向量,得
,有.
所以侧面AB和底面ABC所成二面角的大小是.
(3)从点C向面AB引垂线,D为垂足,则
所以点C到侧面AB的距离是.
习题
1过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,为底面ABC的中心,
设正四面体VABC的棱长为,则AM==VM,=,
,,得
在中,,即,得.
则,有.选B.
温馨提示:正四面体外接球的半径:内切球的半径=.
2 ,选B.
3设PA棱于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=,,则
,得,有或(舍去),
所以,选B.
4由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.
由对称性得,于是.
,选B.
5可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,
外接球的体积,选D.
6当时,AB//;当时,AB//或AB;当时,AB//或与斜交.
7由,得
(1)当时,有,得;
(2)当时,有,得.
9将展开的平面图形还原为正方体,可得只②,④正确.
10解:设的高AO交DE于点,令,
由AO=,有,
在中,,有
得.
当时,到直线BC的最小距离为6.
11解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设,则
Q,P(0,0,1),D得,
由,有,得 ①
若方程①有解,必为正数解,且小于.由,,得.
(i)当时,BC上存在点Q,使PQQD;
(ii)当时, BC上不存在点Q,使PQQD.
(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根,
这时,,得,有.
又平面APD的法向量,设平面PQD的法向量为
而,,
由,得,解得
有,则
,则
所以二面角的正切为.
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