第十二讲   平面向量及应用

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．（宁夏，海南）已知平面向量，则向量（　Ｄ　）

Ａ．            Ｂ．     

Ｃ．              Ｄ．

2．（福建）对于向量和实数，下列命题中真命题是（  B  ）

A．若，则或       B．若，则或

C．若，则或      D．若，则

3．（北京）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　Ａ　）

Ａ．      Ｂ．     Ｃ．     Ｄ．

4．（湖北）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　Ａ　）

Ａ．      Ｂ．

Ｃ．      Ｄ．

5．（江西文）在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，，则                        ．

6．（陕西）如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为          .

7．（全国Ⅱ）在中，已知内角，边．设内角，周长为．

（1）求函数的解析式和定义域；

（2）求的最大值．

解：（1）的内角和，由得．

    应用正弦定理，知

    ，

    ．

    因为，

    所以，

    （2）因为

               ，

    所以，当，即时，取得最大值．

★★★高考要考什么

【考点透视】

本专题主要涉及向量的概念、几何表示、加法和减法，实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式.

【热点透析】

在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用.

★★★高考将考什么

【范例1】出下列命题：①若，则； 

②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；   ③若，则；    ④的充要条件是且∥； 

⑤若∥，∥，则∥。  其中，正确命题的序号是_________________.

解析：

①不正确性。两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。

②正确。∵且，又A、B、C、D为不共线的四点，

∴ 四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，

则，因此。

③正确。∵，∴、的长度相等且方向相同，又=，

∴、的长度相等且方向相同，∴、的长度相等且方向相同，故。

④不正确。当∥且方向相同，即使，也不能得到。

⑤不正确。考虑这种极端情况。

答案：②③。

【点晴】本题重在考查平面的基本概念。

【范例2】平面内给定三个向量：。回答下列问题：

（1）求；     （2）求满足的实数m和n ；

（3）若∥，求实数k；

（4）设满足∥且，求

解：

（1）依题意，得=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）

（2）∵，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n）

∴    解之得

（3）∵∥，且=（3+4k，2+k），=（-5，2）

∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴；

（4）∵=（x-4，y-1），=（2，4），    又∵∥且，

∴解之得或

∴=（，）或=（，）

【点晴】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。

变式：设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a?(a＋b).

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。

解：(Ⅰ)∵

∴的最大值为，最小正周期是。

（Ⅱ）由(Ⅰ)知

即成立的的取值集合是.

【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.

【范例3】已知射线OA、OB的方程分别为，，动点M、N分别在OA、OB上滑动，且。 

（1）若，求P点的轨迹C的方程；

（2）已知，，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。

 解：（1）设，，

则，，

所以，即。

又因为，所以 ，代入得：。

（2），所以，

因为，所以，得，

又，联立得，因为，所以不存在这样的P点。

【点晴】本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。

变式：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，若点C满足，点C的轨迹与抛物线交于A、B两点；

（1）求点C的轨迹方程；

（2）求证：；

（3）在x轴正半轴上是否存在一定点，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）设，由知，点C的轨迹为.

（2）由消y得：

设，，则，,

所以，所以，于是

（3）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为,由消x得：，设，，

则，.

因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以即,所以得，所以存在.