2008年全国高考数学试题汇编
圆锥曲线
一、选择题
1.(天津理科5)设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P点到右准线的距离为 ( B )
A.6 B. D.
2.(天津文科7)设椭圆的右焦点与抛物线
的焦点相同,离心率为
,则此椭圆的方程为 ( B )
A. B.
C.
D.
3.(江西文、理科7)已知F1、F2是椭圆的两个焦点.满足?
=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ( C )
A.(0,1) B.(0,] C.(0,
) D.[
,1)
4.(上海文科12)设是椭圆
上的点.若
、
是椭圆的两个焦点,则
等于 (
D )
A. B.
C.
D.
.
5.(湖北文、理科10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P处进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:
①a1+c1=a2+c2;
②a1-c1=a2-c2;
③c1a2>a1c1;
④<
.
其中正确式子的序号是 ( B )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
6. (全国2文)设是等腰三角形,
,则以
为焦点且过点
的双曲线的离心率为( )
A. B.
C.
D.
7. (全国2理9)设,则双曲线
的离心率
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
8. (福建文12理11)双曲线的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1,3) B. C.(3,+
) D.
9. (辽宁文6)设P为曲线C:上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
,则点P横坐标的取值范围为( )
A. B.
C.
D.
10. (辽宁文11)已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为
,则
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11. (辽宁理10)已知点P是抛物线上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B.
C.
D.
12.(浙江理7)若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为
,则双曲线的离心率是( )
A.3 B.5 C. D.
13.( 陕西理8)双曲线(
,
)的左、右焦点分别是
,过
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
点,若
垂直于
轴,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.
D.
14. (海南理宁夏11)已知点P在抛物线上,那么点P到点
的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )
A. B.
C.
D.
15. (海南文宁夏2)双曲线的焦距为( )
A. B.
C.
D.
16. (湖南理8)若双曲线(a>0,b>0)上横坐标为
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.
(5,+
)
17. (湖南文10)若双曲线(
,
)的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
18. (重庆文8)若双曲线的左焦点在抛物线
的准线上,则
的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.
19. (重庆理8)已知双曲线的一条渐近线为
,离心率
,则双曲线方程为( )
A. B.
C. D.
20.(北京文3)“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为
”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
21. (北京理4)若点到直线
的距离比它到点
的距离小1,则点
的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
二、填空题
22.(湖南理科12)已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F,右准线为l,离心率e=
过顶点A(0,b)作AM
l,垂足为M,则直线FM的斜率等于
.答案:
23.(浙江理科12文科13)已知为椭圆
的两个焦点,过
的直线交椭圆于
两点,若
,则
.答案:8
24.(宁夏海南文科15)过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于
两点,
为坐标原点, 则△
的面积为
. 答案:
25.(江苏12)在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2,以O为圆心,
为
半径的圆,过点
作圆的两切线互相垂直,则离心率
= .
【解析】如图,切线PA、PB互相垂直,又半径OA垂直于PA,所以
△OAP是等腰直角三角形,故,解得
.
【答案】
26.(全国Ⅰ文科15)在△ABC中,∠A=90°,tanB=.若以A、B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e= .
答案:.不妨设2c=AB=4,AC=3,则CB=5,由椭圆定义可得2a=AC+CB=8,于是
27.(全国Ⅰ理科15)在中,
,
.若以
为焦点的椭圆经过点
,则该椭圆的离心率
.
答案:.设
,
则
,
.
28.(上海理科10)某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界是长轴长为2a,短轴长为2b的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .
答案:h1cotθ1+ h2cotθ2≤2a.
29.(全国2文15).已知是抛物线
的焦点,
是
上的两个点,线段AB的中点为
,则
的面积等于 .15.2
30. (全国I文14)已知抛物线的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为
.14.
31. (全国理II14)已知抛物线的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为
.14.2
32. (全国2理15)已知是抛物线
的焦点,过
且斜率为1的直线交
于
两点.设
,则
与
的比值等于 .15.
33.(山东文)
34. (安徽文14)已知双曲线=1的离心率为
,则n=
.14.4
35.(
江西文14)已知双曲线的两条渐近线方程为
,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线的方程为
.14.
36. (江西理15)过抛物线的焦点
作倾斜角为
的直线,与抛物线分别交于
两点(点
在
轴左侧),则
.15.
37. (海南理宁夏14)设双曲线的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为 .14.
38. (海南文宁夏15)过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于
两点,
为坐标原点,则
的面积为
.15.
39. (天津理13)已知圆的圆心与抛物线
的焦点关于直线
对称,直线
与圆
相交于
两点,且
,则圆
的方程为
. 13.
40. (天津文15).已知圆的圆心与点
关于直线
对称.直线
与圆
相交于
两点,且
,则圆
的方程为 .15.
41. (上海文6)若直线经过抛物线
的焦点,则实数
.6.
三、解答题
42..(湖南文科19)已知椭圆的中心在原点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为λ(λ>4).(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上,求λ的取值范围.
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为(a>b>0).
由条件知c=2,且=λ,所以a2=λ,b2=a2-c2=λ-4.
故椭圆的方程是
(Ⅱ)依题意,直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y=k(x-1).设点F(2,0)关于
直线l的对称点为F′(x0,y0),则
解得
因为点F′(x0,y0)在椭圆上,所以
即
λ(λ-4)k4+2λ(λ-6)k2+(λ-4)2=0.
设k2=t,则λ(λ-4)t2+2λ(λ-6)t-(λ-4)2=0.
因为λ>4,所以>0.
解得.
43..(广东理科18文科20)设b>0,椭圆方程为,抛物线方程为
.如图4所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
【解析】(1)由得
,
当得
,
G点的坐标为
,
,
,
过点G的切线方程为即
,
令得
,
点的坐标为
,由椭圆方程得
点的坐标为
,
即
,即椭圆和抛物线的方程分别为
和
;
(2)过
作
轴的垂线与抛物线只有一个交点
,
以
为直角的
只有一个,
同理 以
为直角的
只有一个.
若以为直角,设
点坐标为
,
、
两点的坐标分别为
和
,
.
关于的二次方程有一大于零的解,
有两解,即以
为直角的
有两个,
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形.
44.(北京文科19)已知的顶点
在椭圆
上,
在直线
上,且
.
(Ⅰ)当边通过坐标原点
时,求
的长及
的面积;
(Ⅱ)当,且斜边
的长最大时,求
所在直线的方程.
解:(Ⅰ)因为AB∥l,且AB边通过点(0,0),所以AB所在直线的方程为y=x.
设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
由得
所以
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离,
所以
(Ⅱ)设AB所在直线的方程为y=x+m.
由得
因为A,B在椭圆上,
所以
设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
则
所以
又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即
所以
所以当m=-1时,AC边最长.(这时)
此时AB所在直线方程为.
45.(北京理科19)已知菱形的顶点
在椭圆
上,对角线
所在直线的斜率为1.
(Ⅰ)当直线过点
时,求直线
的方程;
(Ⅱ)当时,求菱形
面积的最大值.
解:(Ⅰ)由题意得直线直线的方程为
.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
于是可设直线的方程为
由得
因为A,C在椭圆上,
所以△=-12n2+64>0,解得
设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则
所以
所以AC的中点坐标为
由四边形ABCD为菱形可知,点在直线y=x+1上,
所以,解得n=-2.
所以直线AC的方程为,即x+y+2=0.
(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且,
所以
所以菱形ABCD的面积
由(Ⅰ)可得
所以
所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值.
46.(宁夏海南理科20)在直角坐标系中,椭圆
的左右焦点分别
为.
也是抛物线
的焦点,点
为
与
在第一象限的交点,且
.
(I)求的方程;
(II)平面上的点满足
,直线
,且与
交于
两点,若
,求直线
的方程.
解:(I)由题意得c=1,所以a2=b2+1.…………①
由抛物线定义知,所以
,
代入椭圆方程得.…………②
由①②解得b2=3(-8/9舍去),a2=4.
所以椭圆的方程是
.
(II)
因为直线,所以
.设直线
,
代入椭圆方程得.设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则,故
.
因为,
所以.
因为,所以
.
故即
.
解得,满足
.因此直线
的方程
.
47.(福建理科21)如图、椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有,求a的取值范围.
【解析】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考查运算能力和综合解题能力.
解法一:(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形,所以,
即1=
因此,椭圆方程为
(Ⅱ)设
(?)当直线 AB与x轴重合时,
(?)当直线AB不与x轴重合时,
设直线AB的方程为:
整理得
所以
因为恒有,所以
AOB恒为钝角.
即恒成立.
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立,
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.
当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2- a2b2+b2<0.
a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4,
因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,
解得a>或a<
(舍去),即a>
,
综合(i)(ii),a的取值范围为(,+
).
解法二:
(Ⅰ)同解法一,
(Ⅱ)解:(i)当直线l垂直于x轴时,
x=1代入=1.
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4
yA2, yA2>1,即>1,
解得a>或a<
(舍去),即a>
.
(ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1), B(x2,y2).
设直线AB的方程为y=k(x-1)代入
得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,
故x1+x2=
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,
得x1x2+ y1y2<0恒成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2
=(1+k2).
由题意得(a2- a2
b2+b2)k2- a2
b2<0对kR恒成立.
①当a2- a2 b2+b2>0时,不合题意;
②当a2- a2
b2+b2=0时,a=;
③当a2- a2 b2+b2<0时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0,
解得a2>或a2>
(舍去),a>
,因此a
.
综合(i)(ii),a的取值范围为(,+
).
48.(辽宁理科20)在直角坐标系中,点
到两点
的距离之和为4,设点
的轨迹为
,直线
与
交于
两点.
(Ⅰ)写出的方程;
(Ⅱ)若,求
的值;
(Ⅲ)若点在第一象限,证明:当
时,恒有
.
(辽宁文科21)在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-)、(0,
)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.
(Ⅰ)写出C的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,.k为何值时此时|
|的值是多少?
【解析】本小题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.
解:(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦长,长半轴为2的椭圆.它的短半轴
故曲线C的方程为.
……3分
(Ⅱ)设,其坐标满足
消去y并整理得 3.0,
故
……5分
若即
面
化简得所以
……8分
(Ⅲ)
=
=
=
因为A在第一象限,故x1>0.由知
从而
又
故
即在题设条件下,恒有
……12分
文(Ⅱ)设,其坐标满足
消去y并整理得,
故.????????????????????????????????????????????????????????? 6分
,即
.
而,
于是.
所以时,
,故
.???????????????????????????????????????????? 8分
当时,
,
.
,
而
,
所以.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
49.(重庆理科21)如图(21)图,和
是平面上的两点,动点
满足:
(Ⅰ)求点的轨迹方程;
(Ⅱ)若,求点
的坐标.
解:(Ⅰ)由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴
b=,
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)由得
①
因为不为椭圆长轴顶点,故P、M、N构成三角形.在△PMN中,
②
将①代入②,得
故点P在以M、N为焦点,实轴长为的双曲线
上.
由(Ⅰ)知,点P的坐标又满足,所以
由方程组 解得
即P点坐标为
50.(全国Ⅱ理科21文科22)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点,直线
与AB相交于点D,与椭圆相较于E、F两点.
(Ⅰ)若 ,求k的值;
(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.
(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为,
直线的方程分别为
,
.?????????????????????????? 2分
如图,设,其中
,
且
满足方程
,
故.①
由知
,得
;
由在
上知
,得
.
所以,
化简得,
解得或
.??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点到
的距离分别为
,
.??????????????????????????????????????? 9分
又,所以四边形
的面积为
,
当,即当
时,上式取等号.所以
的最大值为
.??????????? 12分
解法二:由题设,,
.
设,
,由①得
,
,
故四边形的面积为
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
,
当时,上式取等号.所以
的最大值为
.????????????????????????? 12分
51.(福建文科22)如图,椭圆(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点(2,0).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若为垂直于
轴的动弦,直线
:
与
轴交
于点,直线
与
交于点
.
(?)求证:点恒在椭圆
上;
(?)求面积的最大值.
【解析】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识,考查运算能力和综合解题能力,满分14分.
解法一:
(Ⅰ)由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,
所以椭圆C前方程为.
(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1. ……①
AF与BN的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0,n(x-4)-(m-4)y=0.
设M(x0,y0),则有
由②,③得x0=.
所以点M恒在椭圆G上.
(?)设AM的方程为x=xy+1,代入=1得(3t2+4)y2+6ty-9=0.
设A(x1,y1),M(x2,y2),则有:y1+y2=
|y1-y2|=
令3t2+4=λ(λ≥4),则
|y1-y2|=
因为λ≥4,0<
|y1-y2|有最大值3,此时AM过点F.
△AMN的面积S△AMN=
解法二:
(Ⅰ)问解法一:
(Ⅱ)(?)由题意得F(1,0),N(4,0).
设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0), ……①
AF与BN的方程分别为:n(x-1)-(m-1)y=0, ……②
n(x-4)-(m-4)y=0, ……③
由②,③得:当≠.
……④
由④代入①,得=1(y≠0).
当x=时,由②,③得:
解得与a≠0矛盾.
所以点M的轨迹方程为即点M恒在椭圆C上.
(Ⅱ)同解法一.
52.(山东文科22)已知曲线所围成的封闭图形的面积为
,曲线
的内切圆半径为
.记
为以曲线
与坐标轴的交点为顶点的椭圆.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设是过椭圆
中心的任意弦,
是线段
的垂直平分线.
是
上异于椭圆中
心的点.
(1)若(
为坐标原点),当点
在椭圆
上运动时,求点
的轨迹方程;
(2)若是
与椭圆
的交点,求
的面积的最小值.
解:(Ⅰ)由题意得,椭圆
的标准方程为
.
(Ⅱ)(1)设M(x,y),A(x0,y0),
则由得
.……………………………①
由于⊥线段
,
∈
且
异于椭圆中心,得
.……②
因为点在椭圆
上运动,所以
.………………………③
由①②③消去x0,y0得,即为所求点
的轨迹方程.
(2)因为
,
又点坐标同时满足
,所以
.
于是,当且仅当
即
时取“=”.
所以的面积的最小值为
.
53.(四川理科21)设椭圆
的左、右焦点分别为
、
,离心率
,右准
线为,
、
是
上的两个动点,
.
(Ⅰ)若,求
、
的值;
(Ⅱ)证明:当取最小值时,
与
共线.
解析:数列和解几位列倒数第三和第二,意料之中.开始挤牙膏吧.
(Ⅰ)由已知,,
.由
,
,
∴.又
,∴
,
.
∴:
,
,
.
延长交
于
,记右准线
交
轴于
.
∵,∴
.
由平几知识易证≌
∴,
即
,
.
∵,
∴,
,
,
.
∴,
.
(Ⅰ)另解:∵,∴
,
.
又
联立,消去
、
得:
,
整理得:,
.解得
.
但解此方程组要考倒不少人.
(Ⅱ)∵,∴
.
.
当且仅当或
时,取等号.此时
取最小值
.
此时.
∴与
共线.
(Ⅱ)另解:∵,∴
,
.
设,
的斜率分别为
,
.
由,由
.
当且仅当即
,
时取等号.即当
最小时,
,
此时
∴与
共线.
点评:本题第一问又用到了平面几何.看来,与平面几何有联系的难题真是四川风格啊.注意平面几何可与三角向量解几沾边,应加强对含平面几何背景的试题的研究.本题好得好,出得活,出得妙!均值定理,放缩技巧,永恒的考点.
54.(四川文科22)设椭圆的左、右焦点分别是F1和F2 ,离心率
,
点F2到右准线l的距离为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设M、N是右准线上两动点,满足
证明:当取最小值时,
.
解:(1)因为,F2到l的距离
,所以由题设得
解得
由
(Ⅱ)由,a=2得
l的方程为
.
故可设
由知
得y1y2=-6,所以y1y20,
,
当且仅当时,上式取等号,此时y2=-y1,
所以,=(0,y1+y2)=0.
55.(安徽理科22)设椭圆过点
,且左焦点为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当过点的动直线
与椭圆
相交与两不同点
时,在线段
上取点
,满足
,证明:点
总在某定直线上.
解(Ⅰ)由题意:
,解得
,所求椭圆方程为
.
(Ⅱ)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为.
由题设知均不为零,记
,则
且
.
又A,P,B,Q四点共线,从而.
于是
,
,
从而
,
(1)
,
(2)
又点A、B在椭圆C上,即
(1)+(2)×2并结合(3),(4)得,
即点总在定直线
上.
方法二
设点,由题设,
均不为零,
且 .
又 四点共线,可设
,于是
(1)
(2)
由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程
整理得
(3)
(4)
(4)-(3) 得 ,
,
即点总在定直线
上.
56.(安徽文科22)已知椭圆,其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知过点F1(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点.,求证:
(Ⅲ)过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E,求的最小值.
解:(Ⅰ)由已知得,又
,所以
.
故所求椭圆C的方程为.
(Ⅱ)设直线AB方程为,
代入椭圆C的方程得
.
设点A、B的坐标分别为,则
.
于是
,得证.
(Ⅲ)由(Ⅱ),因为
,所以
.
因此
当且仅当即
时取“=”.
所以的最小值是
.
57. (全国I文22理21)(本小题满分12分)
(注意:在试题卷上作答无效)
双曲线的中心为原点,焦点在
轴上,两条渐近线分别为
,经过右焦点
垂直于
的直线分别交
于
两点.已知
成等差数列,且
与
同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率;
(Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
22.解:(1)设,
,
由勾股定理可得:
得:,
,
由倍角公式,解得
则离心率.
(2)过直线方程为
与双曲线方程联立
将,
代入,化简有
将数值代入,有
解得
最后求得双曲线方程为:.
58. (山东理22)(本小题满分14分)
如图,设抛物线方程为,
为直线
上任意一点,过
引抛物线的切线,切点分别为
.
(Ⅰ)求证:三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当点的坐标为
时,
.求此时抛物线的方程;
(Ⅲ)是否存在点
,使得点
关于直线
的对称点
在抛物线
上,其中,点
满足
(
为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点
的坐标;若不存在,请说明理由.
22.(Ⅰ)证明:由题意设.
由得
,得
,
所以,
.
因此直线的方程为
,
直线的方程为
.
所以,①
.②
由①、②得,
因此,即
.
所以三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当时,
将其代入①、②并整理得:
,
,
所以是方程
的两根,
因此,
,
又,
所以.
由弦长公式得.
又,
所以或
,
因此所求抛物线方程为或
.
(Ⅲ)解:设,由题意得
,
则的中点坐标为
,
设直线的方程为
,
由点在直线
上,并注意到点
也在直线
上,
代入得.
若在抛物线上,则
,
因此或
.
即或
.
(1)当时,则
,此时,点
适合题意.
(2)当,对于
,此时
,
,
又,
,
所以,
即,矛盾.
对于,因为
,此时直线
平行于
轴,
又,
所以直线与直线
不垂直,与题设矛盾,
所以时,不存在符合题意的
点.
综上所述,仅存在一点适合题意.
59. (湖北文20)(本小题满分13分)
已知双曲线的两个焦点为
,
,点
在双曲线
上.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)记为坐标原点,过点
的直线
与双曲线
相交于不同的两点
,若
的面积为
,求直线
的方程.
20.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识,考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.
(满分13分)
(Ⅰ)解法1:依题意,由,得双曲线方程为
.
将点代入上式,得
.
解得(舍去)或
,
故所求双曲线方程为.
解法2:依题意得,双曲线的半焦距.
,
,
.
双曲线
的方程为
.
(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线的方程为
,代入双曲线
的方程并整理,
得. ①
直线
与双曲线
相交于不同的两点
,
. ②
设,则由①式得
,
,
于是
.
而原点到直线
的距离
,
.
若,即
,解得
.
满足②.故满足条件的直线有两条,其方程分别为
和
解法2:依题意,可设直线的方程为
,代入双曲线
的方程并整理,
得. ①
直线
与双曲线
相交于不同的两点
,
.②
设,则由①式得
.③
当在同一支上时(如图1所示),
;
当在不同支上时(如图2所示),
.
综上得,于是由
及③式,
得.
若,即
,
解得,满足②.
故满足条件的直线有两条,其方程分别为
和
.
60.(湖北理19)(本小题满分13分)
如图,在以点O为圆心,为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,
∠POB=30°,曲线C是满足
为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)设过点D的直线与曲线C相交于不同的两点E、F.
若的面积不小于
,求直线
斜率的取值范围.
19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(满分13分)
(Ⅰ)解法1:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则,
,
,
,依题意得
<|AB|=4.
∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.
设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,
则c=2,2a=2,∴a2=2,
.
∴曲线C的方程为.
解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得
.
∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为>0,b>0).
则由解得a2=b2=2,
∴曲线C的方程为
.
(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得
.
∵直线与双曲线C相交于不同的两点E、F,
.
设,F(x2,y2),则由①式得x1+x2=
,
,于是
|EF|=
而原点O到直线l的距离,
.
若面积不小于
,即
,则有
,解得
. ③
综合②,③知,直线l的斜率的取值范围为.
解法2:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,
得. ①
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,
∴
∴.②
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得
③
当E、F在同一支上时(如图1所示),
;
当E、F在不同支上时(如图2所示).
.
综上得,于是
由|OD|=2及③式,得.
若面积不小于2
,即
,则有
,解得
. ④
综合②、④知,直线l的斜率的取值范围为.
61.(江西文22)(本小题满分14分)
已知抛物线和三个点
,过点
的一条直线交抛物线于
两点,
的延长线分别交抛物线于点
.
(1)证明三点共线;
(2)如果四点共线,问:是否存在
,使以线段
为直径的圆与抛物线有异于
的交点?如果存在,求出
的取值范围,并求出该交点到直线
的距离;若不存在,请说明理由.
22.(1)证明:设,
则直线的方程
,
即.
因为在
上,
所以
①
又直线方程:
所以,
同理,,
所以直线的方程:
令得
将①代入上式得,即
点在直线
上,
所以三点共线.
(2)解:由已知共线,有
,
以为直径的圆方程:
由得
所以,
.
要使圆与抛物线有异于的交点,则
,
所以存在,使以
为直径的圆与抛物线有相异于
的交点
.
则,所以交点
到
的距离为
.
62.(江西理21)(本小题满分12分)
设点在直线
上,过点
作双曲线
的两条切线
,切点为
,定点
.
(1)
过点作直线
的垂线,垂足为
,试求
的垂心
所在的曲线方
程;
(2)
求证:三点共线.
21.解:设.
由已知得到,且
,
.
(1)垂线的方程为:
,
由得垂足
,
设重心,
由可得:
即为重心
所在曲线方程.
(2)设切线的方程为:
由得
从而.
解得.
因此的方程为:
同理的方程为:
又在
上,所以
,
即点都在直线
上.
又也在直线
上,所以
三点共线.
63.(浙江理20文22)(本题15分) 已知曲线是到点
和到直线
距离相等的点的轨迹.
是过点
的直线,
是
上(不在
上)的动点;
在
上,
,
轴(如图).
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)求出直线的方程,使得
为常数.
20.本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分.
(Ⅰ)解:设为
上的点,则
,
到直线
的距离为
.
由题设得.
化简,得曲线的方程为
.
(Ⅱ)解法一:
设
,直线
,则
,从而
.
在中,因为
,
.
所以 .
,
.
当时,
,
从而所求直线方程为
.
解法二:设,直线
,则
,从而
.
过垂直于
的直线
.
因为
,所以
,
.
当时,
,
从而所求直线方程为
.
64.(陕西理20文21)(本小题满分12分)
已知抛物线:
,直线
交
于
两点,
是线段
的中点,过
作
轴的垂线交
于点
.
(Ⅰ)证明:抛物线在点
处的切线与
平行;
(Ⅱ)是否存在实数使
,若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
20.解法一:(Ⅰ)如图,设,
,把
代入
得
,
由韦达定理得
,
,
,
点的坐标为
.
设抛物线在点处的切线
的方程为
,
将代入上式得
,
直线
与抛物线
相切,
,
.
即.
(Ⅱ)假设存在实数,使
,则
,又
是
的中点,
.
由(Ⅰ)知
.
轴,
.
又
.
,解得
.
即存在,使
.
解法二:(Ⅰ)如图,设,把
代入
得
.由韦达定理得
.
,
点的坐标为
.
,
,
抛物线在点
处的切线
的斜率为
,
.
(Ⅱ)假设存在实数,使
.
由(Ⅰ)知,则
,
,
,解得
.
即存在,使
.
65.(天津理21文22)(本小题满分14分)
已知中心在原点的双曲线的一个焦点是
,一条渐近线的方程是
.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)若以为斜率的直线
与双曲线
相交于两个不同的点
,且线段
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求
的取值范围.
21..本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.满分14分.
(Ⅰ)解:设双曲线的方程为
,由题设得
解得
所以双曲线的方程为
.
(Ⅱ)解:设直线的方程为
,点
,
的坐标满足方程组
将①式代入②式,得,整理得
.
此方程有两个不等实根,于是,且
.整理得
. ③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标
满足
,
.
从而线段的垂直平分线的方程为
.
此直线与轴,
轴的交点坐标分别为
,
.由题设可得
.
整理得
,
.
将上式代入③式得,
整理得
,
.
解得或
.
所以的取值范围是
.
66.(湖南理20)(本小题满分13分)
若是抛物线
上的不同两点,弦
(不平行于
轴)的垂直平分线与
轴相交于点
,则称弦
是点
的一条“相关弦”.已知当
时,点
存在无穷多条“相关弦”.给定
.
(Ⅰ)证明:点的所有“相关弦”的中点的横坐标相同;
(Ⅱ)试问:点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用
表示);若不存在,请说明理由.
20.解:(I)设AB为点的任意一条“相关弦”,且点
的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)(x1
x2),则
,,
,
两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为x1x2,所以y1+y2
0.
设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(xm, ym),则
.
从而AB的垂直平分线l的方程为 .
又点在直线
上,所以
.
而,于是
.
故点的所有“相关弦”的中点的横坐标都是
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦所在直线的方程是
,代入
中,
整理得. (*)
则是方程(*)的两个实根,且
.
设点的“相关弦”AB的弦长为l,则
.
因为,于是设
,则
.
记.
若,则
,所以当
,即
时,
l有最大值.
若,则
,
在区间
上是减函数,所以
,l不存在最大值.
综上所述,当时,点
的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值为
;当
时,点
的“相关弦”的弦长中不存在最大值.
67.(上海文20)(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
已知双曲线.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)已知点的坐标为
.设
是双曲线
上的点,
是点
关于原点的对称点.
记.求
的取值范围;
(3)已知点的坐标分别为
,
为双曲线
上在第一象限内的点.记
为经过原点与点
的直线,
为
截直线
所得线段的长.试将
表示为直线
的斜率
的函数.
20.解:(1)所求渐近线方程为,
.??????????????????????????? 3分
(2)设的坐标为
,则
的坐标为
.????????????????????????????????? 4分
.?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
,
的取值范围是
.????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
(3)若为双曲线
上第一象限内的点,
则直线的斜率
.??????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
由计算可得,当时,
;
当时,
.????????????????????????????????????????????????? 15分
表示为直线
的斜率
的函数是
??????? 16分
68.(重庆文21).(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
如题(21)图,和
是平面上的两点,动点
满足:
.
(Ⅰ)求点的轨迹方程;
(Ⅱ)设
为点
到直线
的距离,若
,求
的值.
21.(本小题12分)
解:(Ⅰ)由双曲线的定义,点的轨迹是以
为焦点,实轴长
的双曲线.
因此半焦距,实半轴
,从而虚半轴
,
所以双曲线的方程为.
(Ⅱ)解法一:
由(Ⅰ)及答(21)图,易知,因
,①
知,故
为双曲线右支上的点,所以
.②
将②代入①,得
,
解得,舍去
,
所以.
因为双曲线的离心率,
直线是双曲线的右准线,
故,
所以,因此
.
解法二:
设.
因知
,
故在双曲线右支上,所以
.
由双曲线方程有.
因此,
.
从而由得
,
即.
所以(舍去
).
有,
.
故.
69.(上海理20)(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
设是平面直角坐标系
中的点,
是经过原点与点
的直线,记
是直线
与抛物线
的异于原点的交点.
(1)已知a=1,b=2,p=2.求点Q的坐标;
(2)已知点,(ab≠0)在椭圆
上,
.
求证:点Q落在双曲线=1上;
(3)已知动点满足ab≠0,
,若点Q始终落在一条关于
轴对称的抛物线上,试问动点
的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由.
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