天津市和平区2008-2009学年度高三第二学期第一次质量调查
数学理
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I卷
本卷共10小题，每小题5分，共50分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 复数
等于
A 
B 
C 
D 
2 设变量x，y满足约束条件
，则目标函数
的最小值为
A 
B 
C 
D 
3 设集合
，则
A 
B 
C 
D 
4 在等比数列
中，
，且
，则
等于
A 
B 
C 
D 
5 过点
作直线l与圆
交于A、B两点，如果|AB|=8，则直线l的方程为
A 
B 
C 
D 
6 如图，在正四面体
中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是
A
C 平面PDF⊥平面PAE D 平面PDE⊥平面ABC
7 已知函数
的最小正周期为
，则该函数的图象
A 关于直线
对称 B 关于点
对称
C 关于直线
对称 D 关于点
对称
8 
的值是
A 
B C 
D 
9 如图，F为抛物线
的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若
，则
等于
A 6 B
10 已知0<a<b，且a+b=1，下列不等式成立的是
A 
B 
C 
D 
第II卷
本卷共12小题，共100分。
11 某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女生中抽取的人数为80，则n等于________。
12 在如下图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出s的结果是________。
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。
13 在
的展开式中，
的系数是________（用数字作答）。
14 已知△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则
的值为________。
15 有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有________种（用数字作答）。
16 如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D。若
，则BD的长为________；AC的长为________。
17 （本小题满分12分）
三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
在△ABC中，
。
（I）求cosC；
（II）设
，求AB。
18 （本小题满分12分）
在4名男生和3名女生中挑选3人参加志愿者服务活动。
（I）求至多选中1名女生的概率；
（II）记女生被选中的人数为随机变量
，求的分布列和数学期望。
19 （本小题满分12分）
如图，正四棱锥P―ABCD的底面边长与侧棱长都是2，点O为底面ABCD的中心，M为PC的中点。
（I）求异面直线BM和AD所成角的大小；
（II）求二面角M―PB―D的余弦值。
20 （本小题满分12分）
已知等差数列的前三项为
，记前n项和为
。
（I）设
，求a和k的值；
（II）设
的值。
21 （本小题满分14分）
设A、B分别为椭圆
为椭圆上一点，椭圆的长半轴的长等于焦距。
（I）求椭圆的方程；
（II）设
，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。
22 （本小题满分14分）
已知函数
。
（I）求
的值域；
（II）设
，函数
。若对任意
，总存在
，使
，求实数a的取值范围。
一、选择题
1 B
二、填空题
11 192 12
286 13 
14
15
840 16 
三、解答题
17 （本题12分）
解：（I）
2分
（II）
8分
由已知条件
根据正弦定理，得
10分
12分
18 （本题12分）
解：（I）在7人中选出3人，总的结果数是
种， （2分）
记“被选中的3人中至多有1名女生”为事件A，则A包含两种情形：
①被选中的是1名女生，2名男生的结果数是
，
②被选中的是3名男生的结果数是
4分
至多选中1名女生的概率为
6分
（II）由题意知随机变量
可能的取值为：0，1，2，3，则有
，
8分
∴
0
1
2
3
P
10分
∴的数学期望
12分
19 （本题12分）
解：（I）连接PO，以OA，OB，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系。 2分
∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都是2。
∴
∴
（II）∵
∴
是平面PDB的一个法向量。 8分
由（I）得
设平面BMP的一个法向量为
则由
，得
，不妨设c=1
得平面BMP的一个法向量为
10分
∵二面角M―PB―D小于90°
∴二面角M―PB―D的余弦值为
12分
20 （本题12分）
解：（I）由已知得
2分
由
，得 4分
即
。解得k=50或
（舍去）
6分
（II）由
，得
8分
9分
是等差数列
则
11分
12分
21 （本题14分）
解：（I）依题意得
2分
把
解得
∴椭圆的方程为
4分
（II）由（I）得
，设
，如图所示，
∵M点在椭圆上，
∴
①
∵M点异于顶点A、B，
∴
由P、A、M三点共线，可得
，
从而
7分
∴
② 8分
将①式代入②式化简得
10分
∵
∴
12分
于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
∴点B在以MN为直径的圆内。 14分
22 （本题14分）
解：（I）
，
令
2分
而
∴当
4分
（II）设函数g(x)在[0，2]上的值域是A，
∵若对任意
∴
6分
①当
，
∴函数
上单调递减。
∵
∴
； 8分
②当
令
（舍去） 9分
（i）当
时，
的变化如下表：
（ii）当
∴函数g(x)在（0，2）上单调递减。
综上可知，实数a的取值范围是
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