新高考数列选题

1．（2000天津）（15）设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________。

2．（2003天津文）5．等差数列    （    ）A．48     B．49     C．50                                D．51

3．（2001天津）若S_n是数列{a_n}的前n项和，且则是 （     ）

（A）等比数列，但不是等差数列                      （B）等差数列，但不是等比数列

（C）等差数列，而且也是等比数列           （D）既非等比数列又非等差数列

4．（2000天津理）（21）（本小题满分12分）

（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数。

（II）设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。

5．（2000天津文）（19）（本小题满分12分）

设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和，求。

6．（2002天津理）21、（本题满分12分）已知两点，且点使，，

成公差小于零的等差数列。

（1）点P的轨迹是什么曲线？

（2）若点P坐标为，记为与的夹角，求。

7．（2002天津理）22、（本题满分14分）已知是由非负整数组成的数列，满足，，。

(1)求；

(2)证明；

(3)求的通项公式及其前项和。

8．（2003江苏理）（22）（本小题满分14分）

设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列

（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；

a₁

（Ⅲ）当时，证明

9．（2003天津理）（22）（本小题满分14分）

设为常数，且．

（Ⅰ）证明对任意≥1，；

（Ⅱ）假设对任意≥1有，求的取值范围．

10．（2003天津文）19．（本题满分12分）

    已知数列

   （Ⅰ）求

   （Ⅱ）证明

1.;  2. c ; 3.B;  5. 解：设等差数列的公差为，则

∵  ，，∴          即

解得 ，。 ∴， ∵  ，∴  数列是等差数列，其首项为，公差为，∴  。                                

10. （Ⅰ）∵a₁=1 . ∴a₂=3+1=4, a₃=3²+4=13 .

   （Ⅱ）证明：由已知a_n－a_n－1=3^n－1,故

所以证得.

9. （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a₁=1－2a₀，等式成立；

   （ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则

    那么

    也就是说，当n=k+1时，等式也成立.  根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.

    证法二：如果设  用代入，可解出.

所以是公比为－2，首项为的等比数列. 

  即

   （2）解法一：由通项公式 

等价于  ……①

   （i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为 

        即为  ……②

②式对k=1，2，…都成立，有 

   （ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为  

即为  ……③         ③式对k=1，2，…都成立，有

  综上，①式对任意n∈N_*，成立，有

故a₀的取值范围为

解法二：如果（n∈N_*）成立，特别取n=1，2有 

   因此     下面证明当时，对任意n∈N_*，

   由a_n的通项公式 

   （i）当n=2k－1，k=1，2…时， 

   （ii）当n=2k，k=1，2…时，

故a₀的取值范围为

8.（Ⅰ）解：∵

∴  ∴

，     ∴

   （Ⅱ）证明：由a=1知  ∵  ∴

∵当  

∴

   （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，

因此

                      =