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    湖南省衡阳市祁东县育贤中学高三文科数学试题（2007年1月）

    湖南省衡阳市祁东县育贤中学   高明生  彭铁军 邮政编码：421600

    本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至10小题，第Ⅱ卷11至21题。全卷共150分。考试用时120分钟。

    第Ⅰ卷（选择题  共50分）

    一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

    1、设x，y，z是空间不同的直线或平面，对于下列四种情形，使“x⊥z且y⊥zx//y”为真命题的是（      ）                                                             ①x，y，z均为直线；   ②x，y是直线，z是平面  

        ③z是直线，x，y是平面；            ④x，y，z均为平面.

        A．①，②         B．①，③         C．③，④         D．②，③

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    2、命题的充要条件；命题若的解集为，

    那么（   ）

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    A、“P或”为假  B、“P且”为真   C、“P且?”为真   D、“?P且”为真

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    3、将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第6层正方体的个数是（    ）

    A．28  B．21  

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    C．15   D．11．

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    4、已知则下列结论中正确的是（    ）

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    A、函数的周期为；

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    B、函数的最大值为1；

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    C、将的图象向左平移单位后得的图象；

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    D、将的图象向右平移单位后得的图象；

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    5、已知，，若BA，则实数的取值范围是（    ）

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    A、    B、    C、   D、

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    6、设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（  ）

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    A、直线对称  B、直线对称  C、直线对称  D、直线对称

     

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    7、过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y=x+m平行，则|AB|的值为（  ）

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     A．6     B．      C．2       D．不能确定

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    8、 函数=(0<a<b<c)的图象关于（   ）对称

    A、x轴     B、y轴       C、原点         D、直线y=x    

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    9、直线x+ay+1=0与直线(a+1)x-by+3=0互相垂直，a,b∈R，则|ab|的最小值是（    ）

     A．5              B.4            C.2                  D.1  

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    10、若都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是（    ）

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    A、   B、   C、    D、

    第Ⅱ卷（非选择题   共100分）

    注意事项：

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    第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。

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    二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，(第15小题每空2分)共20分，把答案填在答题卡相应位置上。

    11、2008年第29届奥运会将在北京召开，现有三个实数的集合，既可以表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a＋b，0}，则a2008＋b2008=               ．

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    12、若点O是的外心，且，则的内角C为         度；

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    13、函数 的导数为                。

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    14、若曲线在点P处的切线平行于直线则点P的坐标为         ；

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    的数表，若表中每行的7个数自左至右依次都成等差

    数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，

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    且正中间的数a=1，则表中所有数的和为_____.

     

     

     

     

     

     

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    三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

    16、（本小题满分12分）如图所示，以向量为边

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    作平行四边形，，

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    ．

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    　 （１）用表示；

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    （２）若，求的最大值．

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    17、（本小题满分12分）已知袋中有编号为1~9的小球各一个，它们的大小相同，从中任取三个小球.求：

    (Ⅰ)恰好有一球编号是3的倍数的概率；

    (Ⅱ)至少有一球编号是3的倍数的概率；

    (Ⅲ)三个小球编号之和是3的倍数的概率.

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    18、（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.

    (Ⅰ)求椭圆的方程；

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    (Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.

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    19、（本小题满分14分）（Ⅰ）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；

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    （Ⅱ）设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.

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    20、（本小题满分14分）已知在棱长为1的正方体中，

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    M，N，P分别为的中点。求异面直线

    所成的角。

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    21、（本小题满分14分）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点  已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b?1)(a≠0)

    （1）若a=1,b=?2时，求f(x)的不动点；

    （2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

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    （3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值 

    湖南省衡阳市祁东县育贤中学高三文科数学试题（2007年1月）

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    一、           选择题：

    1、答案：D

    解：②表示垂直于同一平面的两条直线互相平行；

    ③表示垂直于同一直线的两个平面互相平行；

    2、答案：D ；

    解：，非P真；又真，所以选D；

    3、答案：B ；

    解：本题考查了正方体堆垒问题及数列通项公式的求解.列出该数列的前几项,通过相邻项间的关系可得出该数列的规律而得出一等差数列.

    由图示可得,该正方体的个数所组成的数列1,3,6,…, 其后一项减前一项得一数列2,3,4,…为一个等差数列.由此可得第6层的正方体的个数为1,3,6,10,15,21,… ,

    故应选B.

    4、答案：D ；

    解：的图象向右平移单位后得到：，故选D；

    5、答案：B ；

    解：据题意可知集合A表示函数的定义域，，易化简得，由于BA，故当时，即时易知符合题意；当时，，要使BA，结合数轴知需或（经验证符合题意）或（经验证不合题意舍去），解得，故综上所述可知满足条件的的取值范围是，故答案为B；

    6、答案：D ；

    解：由图象变换可以得到两个图象间的关系，函数是由函数的图象向右平移一个单位得到，而是由函数的图象关于y轴对称得到再向右平移一个单位得到，故两函数的图象关于直线对称。故选D

    7、答案：B ；

    解：两直线平行,则其斜率相等,利用两点间直线的斜率公式可以得两字母间的关系,于是可得两点间的距离.

    由题意得

    所以故应选B.

    8、答案：B ；

    解：由于，故函数的定义域为，根据已知0<a<b<c，则易将函数解析式化简为= ，故且其定义域关于原点对称，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称。故应选B.

    9、答案：C ；

    解：本题考查直线的斜率,由垂直关系得两直线的斜率之积为,再由均值不等式转化转化得出不等关系式，分类讨论得出的最小值.由题意,

    ∵两直线互相垂直,

    ∴,即,

    ∴,则.

    当时,;当时,.

    综合得的最小值为. 故应选C.

    10、答案：C ；

    解：由题意可知，存在，使，即，从函数定义出发，画出映射帮助思考，从A到B再到C是由题意可得，如果继续对C集合中的，应用法则，则会得到，从B到C再到D的映射为，即存在，使，即函数过点，即方程有解，易知在实数集R上无解故选D。

    二、           填空题：

    11、答案：1 ；

    解：根据集合中元素的确定性，我们不难得到两集合的元素是相同的，这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又烦琐．这时若能发现0这个特殊元素，和中的a不为0的隐含信息，就能得到如下解法.由已知得＝0，及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性a＝1应舍去，因而a＝－1，故a2008＋b2008＝(-1) 2008＝1．

    12、答案：120度；

    解：依题意可知：A、O、B、C构成平形四边形，，故的内角C为120度；

    13、答案：；

    解：

    .

    14、答案： ；

    解：，设，依题意可知：，又P在曲线上，故，故点P的坐标为 ；

    15、答案：49 ；

    解：本题考查用取特殊值法进行验证.由题意分析,

    不妨设各个格中的数都为1, 则符合题意要求,所以表中所有数字之和为49.

    三、            解答题：

    16、 解:（１）因为              

    ，   

    所以．          

    （２）由即，

    亦即．

    故，

    当且仅当时取得等号．

    又．

    故当时有有最大值．  

    17、 解:(Ⅰ)从九个小球中任取三个共有种取法，它们是等可能的.设恰好有一球编号是3的倍数的事件为A，

    则.

    (Ⅱ)设至少有一球编号是3的倍数的事件为B，

    则 .

    （Ⅲ）设三个小球编号之和是3的倍数的事件为C，设集合, ,则取出三个小球编号之和为3的倍数的取法共有种，则.

    18、解：设椭圆方程为

    （Ⅰ）易得所求椭圆方程为.

    （Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

    由，消去y得关于x的方程：

    由直线与椭圆相交于A、B两点，解得

    又由韦达定理得原点到直线的距离.

    对两边平方整理得：（*）∵，

    整理得： 又，      从而的最大值为，此时代入方程（*）得  

    所以，所求直线方程为：.

    19、（Ⅰ）解：（1）3－k2>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；

    （2） 1－k>3－k2>0k∈（－，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；

    （3）1－k=3－k2>0k=－1，表示的是一个圆；

    （4）（1－k）（3－k2）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是双曲线；

    （5）k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.

    （Ⅱ）解：依题意，设双曲线的方程为－=1（a>0，b>0）.∵e==，c2=a2+b2，∴a2=4b2.

    设M（x，y）为双曲线上任一点，则|PM|2=x2+（y－5）2=b2（－1）+（y－5）2=（y－4）2+5－b2（|y|≥2b）.

    ①若4≥2b，则当y=4时，|PM|min2=5－b2=4，得b2=1，a2=4.从而所求双曲线方程为－x2=1.

    ②若4<2b，则当y=2b时，|PM|min2=4b2－20b+25=4，得b=（舍去b=），b2=，a2=49.

    从而所求双曲线方程为－=1.

    20、解：如图，连结，由为中点，则从而.故AM和所成的角为所成的角，易证≌。所以，故所成的角为。又设AB的中点为Q，则又从而CN与AM所成的角就是（或其补角）。易求得在中，由余弦定理得，故所成的角为。

    21、解  （1）当a=1,b=?2时，f(x)=x2?x?3，

    由题意可知x=x2?x?3，得x1=?1,x2=3 

    故当a=1,b=?2时，f(x)的两个不动点为?1,3 

    （2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b?1)(a≠0)恒有两个不动点，

    ∴x=ax2+(b+1)x+(b?1)，

    即ax2+bx+(b?1)=0恒有两相异实根

    ∴Δ=b2?4ab+4a＞0(b∈R)恒成立 

    于是Δ′=(4a)2?16a＜0解得0＜a＜1

    故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1 

    （3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)

    又∵A、B关于y=kx+对称 

    ∴k=?1  设AB的中点为M(x′,y′)

    ∵x1,x2是方程ax2+bx+(b?1)=0的两个根 

    ∴x′=y′=，

    又点M在直线上有，

    即

    ∵a＞0，∴2a+≥2当且仅当2a=即a=∈(0,1)时取等号，

    故b≥?，得b的最小值? 

     

    作者：     湖南省衡阳市祁东县育贤中学  高明生  彭铁军

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