雅礼中学2007届高三4月质检试题

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．已知函数，，则的值为

A．                  B．5                C．                    D．3  

【解析】，故选A.

2．设全集是实数集. 与都是的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为

A．             B．

C．         D．

【解析】，，，根据图形所得阴影部分即为，故选C.

3．已知物体的运动方程是（表示时间，单位：秒；表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是

A．0秒、2秒或4秒                                     B．0秒、2秒或16秒

C．2秒、8秒或16秒                        D．0秒、4秒或8秒

【解析】函数两边同时对求导，得

，解得，根据导数的物理意义知选D.

4．有共同底边的等边三角形和所在平面互相垂直，则异面直线和所成角的余弦值为

A．               B．              C．               D．

【解析】取的中点，以为轴建立空间直角坐标系，不妨设等边三角形的边长为2，则，，，，

，，，故选B.

5．在等差数列中，若，则的值为

A．4                B．6                    C．8                D．10

【解析】由，

，故选C.

6．若，，则成立的一个充分不必要条件是

A．           B．               C．         D．

【解析】，故选A.

7．对于虚数，作集合，易知，中任何两个元素相乘的积仍然在中，现规定中关于乘法的单位元：即对任意的，都有，则为

A．               B．                  C．               D．

【解析】根据题目给出的信息即知选D.

8．表示不超过的最大整数(称为的整数部分)，则方程在上的根有

A．1个               B．3个                C．5 个            D．无穷多个

【解析】，结合函数的图像知有三个根、0、1，故选B.

9．设圆：，直线，点，使得存在点，使(为坐标原点),则的取值范围是

A．          B．             C．            D．

【解析】依题意可得，结合，即得，故选C.

10．平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是

A．               B．                C．               D．

【解析】设有组共线的点，每组点数不小于3，依次记为，则有

，而，所以，当时无整数解；当时，有整数解，因此三角形数为，根据古典概率的定义有所求概率为.故选B.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．

11．已知函数，且，那么.

【解析】，

故

12．.

【解析】

13．若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线

的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为.

【解析】根据题意，得，解得

14．展开式中常数项（不含x的项）的和为，则的最简表达式是.

【解析】展开式的常数项为，也可以倒序写成

，两式相加即得，故

15．已知△中，过重心的直线交边于，交边于，设△的面积为，△的面积为，，，则（?），（?）的取值范围是.

【解析】设，，，，因为是△的重心，故

，又，，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.

（?），故；

（?），那么

，当与重合时，，当位于中点时，

，故，故但因为与不能重合，故

三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）若函数的图像与直线相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若点是图像的对称中心，且[0,]，求点A的坐标．

解：（Ⅰ）

                                            …（4分）

∵的图像与相切.

∴m为的最大值或最小值.   即或              …（6分）

（Ⅱ）又因为切点的横坐标依次成公差为的等差数列．所以最小正周期为.

又， 所以                                   …（8分）

即                                          …（9分）

令．则      ∴    …（10分）

由0≤≤得或,因此点A的坐标为、．（12分）

17．（本题满分12分）有一个4×5×6的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成120个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个.

（Ⅰ）设小正方体涂上颜色的面数为，求的分布列和数学期望.

（Ⅱ）如每次从中任取一个小正方体，确定涂色的面数后，再放回，连续抽取6次，设恰好取到两面涂有颜色的小正方体次数为. 求的数学期望. 

解：（Ⅰ）分布列

0

1

2

3

p

                               … （8分）

 E=0×+1×+2×+3×=                                    …（10分）

（Ⅱ）易知～B(6, ),  ∴ E=6×=1.8                              …（12分）

18．（本题满分12分）如图，等腰直角△中，，平面，∥，.

（Ⅰ）求二面角的大小；

（Ⅱ）求点到平面的距离；

（Ⅲ）证明五点在同一个球面上，并求两点的球面距离.

解：方法一

（Ⅰ）取的中点，连结，由知，又，故，所以即为二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直线上，所以点到平面的距离即为△的边上的高.

故.…（10分）

（Ⅲ）易证△为直角三角形，且，取的中点，则由四边形是矩形知，故五点在以为球心，为直径的球面上，故两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长，是（12分）

方法二

以点为坐标原点，以过垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示.（1分）

（Ⅰ）则，，

，，设

是平面的法向量，则有

，即，取，

得，易知平面的一个法向量为，，故所求的角为.（6分）

（Ⅱ），故点到平面的距离为.（10分）

（Ⅲ）易知的中点的坐标为，故，

而，故五点在以为球心，为直径的球面上，故两点之间的球面距离就是半个大圆的弧长，是（12分）

19．（本题满分12分）一艘轮船在相距1000海里的甲、乙两地之间航行，它的耗油量与速度的平方成正比.当轮船每小时行10海里时，它的耗油量价值500货币单位.又此船每行1小时除耗油费用外，其它消耗为常数货币单位，轮船行驶的最大速度是每小时25海里.

问：此船从甲地行驶至乙地最经济的行船速度是多少？

解：设从甲地到乙地的行船速度为每小时海里，则需要的时间为小时，耗油量，设耗油费用为货币单位，由已知，当时，耗油量，耗油费为500货币单位，故，

故行船的总费用为货币单位…（4分）

上式两边同时对求导，得，令，即，

解得…（6分）

又

①当，即时，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，而在上连续，故当时，取到最小值…（9分）

②当，即时，则对总有，故在上单调递减，故当时，有最小值.

综上所述知，当时，轮船行驶的速度应为每小时海里最经济；当时，轮船的行驶速度是每小时25海里最经济. …（12分）

20．（本题满分13分）不等式