北京市西城区2009年抽样测试
高三数学试卷(理科) 2009．1
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．
题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数
第Ⅰ卷 (选择题 共40分)
一、本大题共8小题。每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中。选出符合题目要求的一项．
1．若集合A={x| x－1≥0}，B={ x || x |>2}，则集合A∪B等于( )
A．{ x | x≥1} B．{ x | x >1或x <－2}
C．{ x | x <－2或x >2} D．{ x | x <-2或x≥1}
2．若向量a=(1，2)，b=(－3，4)，则(a?b)( a+b)等于( )
A．20 B．(－10，30)
C．54 D．(－8，24)
3．已知函数f(x)=3x，那么函数f (x)的反函数f -1(x)的定义域为( )
A．{x| x >1} B．{ x | x >0}
C．{ x | x >0且x≠l} D．R
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4．“tanα=.files/image002.gif)
，且sinα?cotα<.files/image004.gif)
”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知m是平面α的一条斜线，点A.files/image006.gif)
α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能
出现的是( )
A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m, l∥α D．l∥m, l∥α
6．已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
7．已知有穷数列{an}(n=1，2，…，6)满足an∈{1，2，3，…，10}，且当i≠j (i，j=1，2，…，6)时，ai≠aj．若a1>a2>a3，a4<a5<a6，则符合条件的数列{an}的个数是( )
A．C
C．A
.files/image008.jpg)
8．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一
棵树与两墙的距离分别是a m (0<a<12)、
的粗细．现在想用
形的花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为S，若将这
棵树围在花圃内，则函数S=f(a)(单位m2)的图象大致是( )
.files/image010.jpg) |
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高三数学试卷(理科) 2009．1
第Ⅱ卷 (共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．若双曲线的离心率为2，两焦点坐标为(-2，0)，(2，0)，则此双曲线的方程为
．
.files/image012.jpg)
10．已知实数x，y满足
则z=2x+4y的最大值为
．
11．已知(ax+.files/image014.gif)
)6的展开式中常数项为-160，那么a=
．
12．若A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则此球的表面积为 ，A，B两点间的球面距离为 ．
13．对于函数f(x)=sin x，g(x)=cos x，h(x)= x+.files/image016.gif)
，有如下四个命题：
①f(x)－g(x)的最大值为.files/image018.gif)
；
②f [h(x)]在区间[－.files/image020.gif)
，0]上是增函数；
③g[f(x)]是最小正周期为2π的周期函数；
④将f(x)的图象向右平移个单位可得g(x)的图象．
其中真命题的序号是 ．
14．已知数列{an}的每一项都是非负实数，且对任意m，n∈N*有
am+n－am－an=0或am+n－am－an=1．
又知a2=0，a3>0，a99=33．则a3= ，a10= ．
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三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分12分)
在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，且a、b、c互不相等，设
a=4，c=3，A=
(Ⅰ)求cos C的值；
(Ⅱ)求b的值．
16．(本小题满分12分)
在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次每件产
品检验不合格的概率分别为.files/image022.gif)
、.files/image024.gif)
，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．
(Ⅰ)求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；
(Ⅱ)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率．
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17．(本小题满分14分)
如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．
.files/image026.jpg)
(Ⅰ)求证：PD⊥BC；
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的大小；
(Ⅲ)求点A到平面PBC的距离．
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18．(本小题满分14分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{ an +Sn}是公差为2的等差数列．
(Ⅰ)求a2，a3；
(Ⅱ)证明数列{an－2}为等比数列；
(Ⅲ)求数列{nan }的前n项和Tn．
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19．(本小题满分14分)
已知抛物线C：y2=4x，点M(m，0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交
A、B两点，O为坐标原点．
(I)若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(Ⅱ)若存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，求实数m的取值范围．
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20．(本小题满分14分)
已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h(x)= mf(x)+ ng(x)，
那么称h(x)为f(x)、g(x)在R上生成的一个函数．
设f(x)=x2+ ax，g(x)= x +b(a，b∈R)，l (x)=2x2+3x－1, h(x)为f(x)、g(x)在R上生成的一个二次函数．
(Ⅰ)设a=1，b=2，若h(x)为偶函数，求h()；
(Ⅱ)设b >0，若b(x)同时也是g(x)、l(x)在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；
(Ⅲ)试判断h(x)能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论．
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高三数学试卷(理科) 2009．1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
B
A
C
B
A
C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．x2-.files/image029.gif)
=1 10．14 11．-2 12．16π, .files/image031.gif)
π 13．①② 14．1，3
注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
15．(本小题满分12分)
(Ⅰ)解：在△ABC中，由正弦定理.files/image033.gif)
=.files/image035.gif)
=.files/image037.gif)
，得.files/image039.gif)
=.files/image041.gif)
，………3分
因为A=.files/image043.gif)
=，即.files/image045.gif)
=，
解得cosC=；
………………………6分
(Ⅱ)解：在△ABC中，由余弦定理b2=a2+b2－2abcosC， ………………………9分
得9=16+b2－8b×，解得b=3，或b=.files/image047.gif)
.
因为a、b、c互不相等，
所以b =．
………………12分
16．(本小题满分12分)
(Ⅰ)解：记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A． ………………………1分
由题意，事件A包括以下两个互斥事件：
①事件B：有2件甲批次产品检验不合格．由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式，得P(B)= C23?(.files/image022.gif)
)2?(1－)1=.files/image050.gif)
；
……………………3分
②事件C：3件甲批次产品检验都不合格．由相互独立事件概率乘法公式，得P(C)=()3=.files/image052.gif)
；所以，“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为P(A)= P(B)+ P(C)=.files/image054.gif)
：
………………………6分
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(Ⅱ)解：记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件”为事件D．由题意，事件D包括以下三个互斥事件：
①事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有2件乙批次产品检验不合格．
其概率P(E)=()2?C31
(.files/image024.gif)
)2(1－)=.files/image057.gif)
；
………………………8分
②事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．
其概率P(F)=C32()2(1－)?C31 ()1(1－)2=.files/image060.gif)
……………………10分
③事件G：有1件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格．
其概率P(G)= C31()1(1－)2?(1－)3=.files/image062.gif)
；
所以，事件D的概率为P(D)=P(E)+P(F)+P(G)=.files/image064.gif)
. …………………12分
17．(本小题满分14分)
方法一：(Ⅰ)证明：∵平面PCD⊥平面ABCD．
.files/image066.jpg)
又平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD．
∴BC⊥平面PCD， ……………………3分
∵PD.files/image068.gif)
平面PCD，
∴BC⊥PD； ………………………4分
(Ⅱ)解：取PD的中点E，连接CE、BE，
∵△PCD为正三角形，
∴CE⊥PD，
由(Ⅰ)知BC⊥平面PCD，
∴CE是BE在平面PCD内的射影．
∴BE⊥PD，
∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角， ……………………7分
在△CEB中，∠BCE=90°，BC=2，CE=.files/image070.gif)
，
∴tan∠CEB=.files/image072.gif)
=.files/image074.gif)
，
∴二面角B-PD-C的大小为arctan；
……………10分
(Ⅲ)解：∵底面ABCD为正方形，∴AD∥BC，
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∵AD.files/image076.gif)
平面PBC,BC平面PBC,
∴AD∥平面PBC，
∴点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，
过D作DF⊥PC于F，
∵BC⊥平面PCD，
∴BC⊥DF，
∵PC∩BC=C，
∴DF⊥平面PBC，且DF∩平面PBC=F,
∴DF为点D到平面PBC的距离， ………………………13分
在等边△PCD中，DC=2，DF⊥PC，
∴CF=1，DF=.files/image078.gif)
=，
∴点A到平面PBC的距离等于
……………………14分
方法二：(Ⅰ)证明：取CD的中点为O，连接PO，
.files/image081.jpg)
∵PD=PC，∴PO⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PO⊥平面ABCD， ………………………2分
如图，在平面ABCD内，过O作OM⊥CD交AB于M,
以O为原点，OM、OC、OP分别为x、y、z轴，建立空间
直角坐标系O-xyz，
则B(2，1，0)，C(0，1，0)，D(0，－l，0)，P(0，0，)，
∵.files/image083.gif)
=(0，－l，－)，.files/image085.gif)
=(－2，0，0)，
∴?=0，
∴BC⊥PD； …………………4分
(Ⅱ)解：取PD的中点E，连接CE、BE，如(Ⅰ)建立空间坐标系，则E(0，－.files/image087.gif)
，.files/image089.gif)
)，
∵△PCD为正三角形，
∴CE⊥PD，
∵.files/image091.gif)
=(－2，－2，0)，.files/image093.gif)
=(－2，－1，)，
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∴.files/image095.gif)
=.files/image097.gif)
=.files/image099.gif)
，
∴BE⊥PD，
∴∠CEB为二面角B-PD- C的平面角， ………………………7分
∵.files/image101.gif)
=(2，.files/image103.gif)
，-)，.files/image106.gif)
=(0，，-)，
∴cos∠BEC=.files/image108.gif)
=.files/image110.gif)
=.files/image112.gif)
，
∴二面角B-PD- C的大小为arccos
……………10分
(III)解：过点A作AF⊥平面PBC于F，
∴AF为点A到平面PBC的距离，设.files/image114.gif)
=h，
∵=(－2，0，0)，.files/image117.gif)
= (0，－1，)，
∴.files/image120.gif)
=0，即BC⊥CP，
∴△PBC的面积S△PBC=|BC|?|PC|=2，
∵三棱锥A-PBC的体积VA-PBC=VP-ABC，
∴.files/image123.gif)
S△PBC.files/image125.gif)
=S△ABC.files/image127.gif)
，
即.files/image129.gif)
，解得h=，
∴点A到平面PBC的距离为．
……………14分
18．(本小题满分14分)
(I)解：∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列，
∴(an+1+Sn+1)－( an+Sn )=2，即an+1=.files/image131.gif)
，
……………3分
∵a1=1，
∴a2=，a3=.files/image134.gif)
；
……………5分
(II)证明：由题意，得a1-2=-1，
∵.files/image136.gif)
，
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∴{ an-2)是首项为-l，公比为的等比数列；
………………9分
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得an-2=-()n-1，
∴nan=2n-n.files/image139.gif)
n-1，
……………10分
∴Tn=(2-1)+(4-2.files/image141.gif)
)+[6-32]+…+[2n-n n-1]，
∴Tn =(2+4+6+…+2n)-[l+2+32 +…+ n n-1]，
设An=1+2+32+…+ n n ，
①
∴ An=+22+33+…+ n n-1 ， ②
由①-②，得An =1++()2+…+() n-1 - n n，
∴An=.files/image143.gif)
，
∴An=4-(n+2)n-1，
∴Tn=.files/image145.gif)
+(n+2)n-1-4=(n+2)n-1+ n (n+1) ? 4． …………………14分
19．(本小题满分14分)
(Ⅰ)解：由题意，得M(1，0)，直线l的方程为y=x-1．
由.files/image147.gif)
，得x2-6 x +1=0，
设A，B两点坐标为A (x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点P的坐标为P(x0，y0)，
则x1=3+2.files/image018.gif)
，x2=3-2，y1= x1-1=2+2，y2= x2-1=2―2，
故点A(3+2，2+2)，B(3-2，2-2)，
……………3分
所以x0=.files/image150.gif)
=3，y0= x0-1=2，
故圆心为P(3，2)，直径.files/image152.gif)
=.files/image154.gif)
，
所以以AB为直径的圆的方程为(x-3) 2+( y-2) 2=16； ………………6分
方法一：(II)解：设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，.files/image156.gif)
．
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则.files/image158.gif)
=( m- x1，- y1)，.files/image160.gif)
=( x2-m， y2)，
所以.files/image162.gif)
①
因为点A，B在抛物线C上，
所以y12=4x1，y22=4x2 ②
由①②，消去x2，y1，y2 得λx1= m． ……………………10分
若此直线l使得.files/image164.gif)
，.files/image166.gif)
，.files/image168.gif)
成等比数列，则2=.files/image170.gif)
，
即2=λ.files/image172.gif)
，所以m2=λ[(x1-m)2+y12]，
因为y12=4x1，λx1=m，所以m2=.files/image174.gif)
[(x1-m)2+4x1]，
整理得x12-(
因为存在直线l使得，，成等比数列，
所以关于x1的方程③有正根，
因为方程③的两根之积为m2>0，所以只可能有两个正根，
所以.files/image176.gif)
，解得m.files/image178.gif)
4．
故当m4时，存在直线l使得，，成等比数列．…………14分
方法二：(II)解：设使得，，成等比数列的直线AB方程为x=m(m
>0)或
y= k(x-m)(k≠0)，
当直线AB方程为x=m时，A(m，.files/image180.gif)
)，B(m，-)，
因为，，成等比数列，
所以2=，即m2=
当直线AB方程为y= k(x- m)时，
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由.files/image183.gif)
，得k2x2-(2k
设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+ x2=.files/image185.gif)
，x1x2=m2,
①
由m>0，得Δ=(2k.files/image187.gif)
k
因为，，成等比数列，所以2=，
所以m2=.files/image189.gif)
， ②
因为A，B两点在抛物线C上，
所以y12=4x1，y22=4x2， ③ ……………11分
由①②③，消去x1，y1，x2，y2，
得m=4(1+.files/image191.gif)
)，
因为存在直线l使得，，成等比数列，
所以m=4(1+)>4，
综上，当m4时，存在直线l使得，，成等比数列．…………14分
20．(本小题满分14分)
(Ⅰ)解：设h(x)= mf(x)+ ng(x)，则h(x)= m(x2+x)+ n(x+2)=mx2+(m+n)x+2n(m≠0)，
因为h(x)为一个二次函数，且为偶函数，
所以二次函数h(x)的对称轴为y轴，即x=.files/image193.gif)
，
所以n=-m，则h(x)=
mx2
则h()=0；
……………………3分
(Ⅱ)解：由题意，设h(x)= mf(x)+ ng(x)=mx2+(am+n)x+bn(m，n∈R ，且m≠0)
由h(x)同时也是g(x)、l(x)在R上生成的一个函数，
知存在m0，n0 使得h(x)= m
所以函数h(x)=mx2+ (am+n) x+bn=2n0x2+(m0+3n0)x+(bm0-n0)，
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则.files/image196.gif)
，
………………………5分
消去m0，n0，得am=(.files/image198.gif)
)m，
因为m≠0，所以a=，
…………………7分
因为b>0，
所以a+b=+ b.files/image200.gif)
(当且仅当b =.files/image202.gif)
时取等号)，
故a+b的最小值为.files/image204.gif)
．
…………………9分
(Ⅲ)结论：函数h(x)不能为任意的一个二次函数．
以下给出证明过程．
证明：假设函数h(x)能为任意的一个二次函数，
那么存在m1，n1使得h(x)为二次函数y=x2，记为h1(x)=x2，
即h1(x)=m
同理，存在m2，n2使得h(x)为二次函数y=x2+l，记为h2(x)=x2+l，
即h2(x) =m
由②-①，得函数h2(x) ? h1(x)=( m2?m1) f(x)+( n2?n1) g(x)=1，
令m3=m2-m1，n3=n2-n1，化简得m3( x2+ax)+ n3(x+b) =1对x∈R恒成立，
即m3x3 (m
所以.files/image206.gif)
，即.files/image208.gif)
，
显然，n3b=0×b=0与n3b =1矛盾，
所以，假设是错误的，
故函数h(x) 不能为任意的一个二次函数． …………………14分
注：第（Ⅲ）问还可以举其他反例．
高三数学（理科）答案 第8页（共8页）
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