1．已知集合，则满足的集合的个数是

A．               B．            C．           D．

2．已知，为虚数单位，且，则的值为

A．              B．           C．       D．

3．设，，，则的大小顺序是

A．　     B．     C．     D．

4．在中，分别是的对边，且，则 等于            　　　

   A．            B．          C．         D．

5．已知命题：“”，命题：“”．

若命题“且”是真命题，则实数的取值范围为

A．或                    B．或   

C．                             D．                  

6． 已知，是由直线和曲线围成的曲边三角形的平面区域，若向区域上随机投一点，则点落在区域内的概率为

A ．     　      B ．    　     C．  　　  　 D．

7．在教材中，我们学过“经过点，法向量为的平面的方程是：”．现在我们给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是

　A．          B．           C．          D．

8．已知函数的定义域为，部分对应值如下表．为的导函数，函数的图象如下图所示．

若两正数满足，则的取值范围是

A．         B．       C．        D．

第Ⅱ卷 (非选择题共110分)

注意事项:

    第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效．

必做题：第9、10、11、12题为必做题．

9．已知数列是公差不为的等差数列，为数列的前项和，，则=________．

10．设二项式 展开式各项的系数和为 P，二项式系数之和为S，P + S = 72，则正整数=________，展开式中常数项的值为___________．

12．已知抛物线与直线交于两点，如果在该抛物线上存在点，使得为坐标原点），则实数＝       ．

选做题：从第13、14、15三道题中选做两题，三题都答的只计算前两题的得分．

13．如图，⊙和⊙交于两点，点在⊙上， ⊙的弦分别与弦、

⊙交于、两点，若，，则⊙的半径为___________．

14．若直线与曲线为参数，且有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________．                                               

15．关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是­­_______．

16．（本小题满分12分）已知，，设．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）当，时，求函数的最大值及最小值．

17．（本小题满分12分）有编号为的个学生，入坐编号为的个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知时，共有种坐法．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求随机变量的概率分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求直线与平面所成的角的大小；

(Ⅲ)求二面角的大小．

19． （本小题满分14分）设是定义在上的奇函数，且当时， ．

(Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ) 当时，求函数在上的最大值；

(Ⅲ)如果对满足的一切实数，函数在上恒有，求实数的取值范围．

20．（本小题满分14分）已知椭圆的中心为原点，点是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，且当直线垂直于轴时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）已知数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和；

（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．

2007年深圳市高三年级第二次调研考试理科数学答案及评分标准

说明：

1

2

3

4

5

6

7

8

C

B

C

D

A

D

A

B

9．．             10．，．           11．．          12．．

13．．            14．．       15．．

16．（本小题满分12分）已知，设．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）当，时，求函数的最大值及最小值．

解：（Ⅰ） =       ……2分

= =  …………………3分 

= =． 　………………5分 

    ∴的最小正周期．                 ………………………………6分

（Ⅱ）∵ ，  ∴．

∴当，即=时，有最大值；         ………………10分

当，即=时，有最小值 ．       ……………12分

17．（本小题满分12分）有编号为的个学生，入坐编号为的个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知时，共有种坐法．

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）求随机变量的概率分布列和数学期望．

解：（Ⅰ）当时，有种坐法，                 ……………………………2分

，即，

，或（舍去）．                         

．                                      ………………………………4分               

（Ⅱ）的可能取值是，

又， ，     

  ，， ………………………………8分

的概率分布列为：

P

……………………10分                                                 

则．                   ……………………12分

18．（本小题满分14分）

如图，正方形所在的平面与平面垂直，

是和的交点，，且．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求直线与平面所成的角的大小；

(Ⅲ)求二面角的大小．

解法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形，

．   ………………………1分

∵平面平面，    

又∵，

平面．……………………3分

平面，

． …………………………4分

平面．    ………………5分

 (Ⅱ)连结，

平面，

是直线与平面所成的角．            ……………………………5分

设，则

，，              ……………………………………………6分

，

．           

即直线与平面所成的角为．   ……………………………………………8分

 (Ⅲ)过作于，连结．    ……………………………………………9分

平面，

．

平面．

是二面角的平面角． ……10分

∵平面平面，平面．

．

在中， ，有．

由(Ⅱ)所设可得

，，

．             ……………………………………………12分

．

．

∴二面角等于．           ……………………………………………14分

解法二: ∵四边形是正方形 ，

，

∵平面平面，

平面，                      ……………………………………………2分

∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则

，

是正方形的对角线的交点，

．…………………………………4分

 (Ⅰ) ，，，

，                 ………………………………………6分

平面．                      ……………………………………………7分

(Ⅱ) 平面，

为平面的一个法向量，         ……………………………………………8分

，

．        ……………………………………………9分

．

∴直线与平面所成的角为．      ………………………………………10分

 (Ⅲ) 设平面的法向量为，则且，

且．

      即

取，则， 则．      ……………………………………………12分

又∵为平面的一个法向量，且，

，

设二面角的平面角为，则，

．

∴二面角等于．           ……………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

设是定义在上的奇函数，且当时， ．

 (Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ) 当时，求函数在上的最大值；

(Ⅲ)如果对满足的一切实数，函数在上恒有，求实数的取值范围．

解: (Ⅰ)当时， ，则

．            ……………………………2分

当时， ．           ……………………………3分

        …………………………4分

(Ⅱ)当时

． ………5分

 (1)当，即时

当时，， 当时，，

在单调递增，在上单调递减，

．                 ……………………………7分

(2)当，即时，，

在单调递增．

，                 ……………………………9分

           ……………………………10分

(Ⅲ) 要使函数在上恒有，必须使在上的最大值．

也即是对满足的实数，的最大值要小于或等于．   ………………11分

（1）当时，，此时在上是增函数，

则．

，解得．  ………①           ………………………………12分

（2）当时，

此时，在上是增函数， 的最大值是．

，解得．………②            ……………………………13分

由①、②得实数的取值范围是．              ……………………………14分

20．（本小题满分14分）

已知椭圆的中心为原点，点是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，且当直线垂直于轴时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，则．……①……1分

当垂直于轴时，两点坐标分别是和，

，则，即．………②  …3分

由①，②消去，得．

或（舍去）．

当时，．

因此，椭圆的方程为．                 ……………………………5分

（Ⅱ）设存在满足条件的直线．

(1)当直线垂直于轴时，由（Ⅰ）的解答可知，焦点到右准线的距离为，此时不满足．

因此，当直线垂直于轴时不满足条件．               ……………………………7分

（2）当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为，则直线的方程为．

由，

设两点的坐标分别为和，则

，．

 ．    ……………………9分

又设的中点为，则．

当为正三角形时，直线的斜率为．

，

．

…………………………11分

当为正三角形时，，即＝，

解得，．                                  …………………………13分

因此，满足条件的直线存在，且直线的方程为或．……14分

21．（本小题满分14分）已知数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和；

（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．

解：（Ⅰ），，……………3分

又，数列是首项为，公比为的等比数列．……5分

，　即.　　　　　　　　 　　………………6分

（Ⅱ）．

．      ………………9分

（Ⅲ），

．                      ……………………10分

当时，则

．

，   对任意的，．          ………………………14分

命题：喻秋生  李志敏  程武军      审题：石永生