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    探究操作性问题

    【典型例题】

    ，，

    ．

    ，即为的中点．

    （2）①由（1）可知，，

    ，，

    ．

    ，

    又，四边形为平行四边形．

    ②设，轴，则，则．

    过作轴，垂足为，在中，

    ．

    平行四边形为菱形．

    （3）设直线为，由，得，代入得：

      直线为．

    设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：

    ，，解得．得公共点为．

    所以直线与抛物线只有一个公共点．

    【例2】（福建南平）

    （1）①证法一：与均为等边三角形，

    ，

    且

    ，

    即

    ．

    ②，，．

    （2）①

    ②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，，

    ，即．

    ．

    ，，?????? 13分

    ，

    【例3】（内江市）

    观察计算

    （1）；

    （2）．

    探索归纳

    （1）①；②；

    （2）．

    ①当，即时，，．；

    ②当，即时，，．；

    ③当，即时，，．．

    综上可知：当时，选方案二；

    当时，选方案一或方案二；

    当（缺不扣分）时，选方案一．

    【例4】（浙江宁波）

    （1）．    （2）相等，比值为．

    （3）设，

    在矩形中，，

    ，，，

    ，

    ．

    同理．

    ，   ，    ．

    ，   ，解得．即．

    （4），    ．

    【学力训练】

    1、（山东聊城）（1）设正方形的边长为cm，则

    ．

    即．

    解得（不合题意，舍去），．

    剪去的正方形的边长为1cm．

    （注：通过观察、验证直接写出正确结果给3分）

    （2）有侧面积最大的情况．

    设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，

    则与的函数关系式为：

    ．

    即．

    改写为．

    当时，．

    即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积

    最大为40.5cm2．

    （3）有侧面积最大的情况．

    设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2．

    若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

    ．

    即．

    当时，．

    若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

    ．

    即．

    当时，．

    比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．

    2、（山东枣庄）

    （1）如图所示，，，

    ∴．　　又，

    ∴． 

    （2），∴∠D1FO=60°．

    ，∴．  

    　又，，∴．

    ，∴．

    又，∴．

    在中，．

    （3）点在内部． 

    理由如下：设（或延长线）交于点P，则．

    在中，，    

    ，即，∴点在内部．  

    3、（江苏盐城）（1）①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；

    ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．

    由正方形ADEF得  AD=AF ，∠DAF=90º．

    ∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ，  ∴∠DAB=∠FAC，

    又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC  ， ∴CF=BD   　　　　

      ∠ACF=∠ABD．

    ∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，

    ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD

    （2）画图正确　　　　　　　

    当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．

      理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG

    可证：△GAD≌△CAF   ∴∠ACF=∠AGD=45º 

    ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．   即CF⊥BD

    （3）当具备∠BCA=45º时，

    过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）

    ∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，

    ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴  DQ=4―x，

    容易说明△AQD∽△DCP，∴ ，  ∴，

    ．

    ∵0＜x≤3   ∴当x=2时，CP有最大值1

    4、（07丽水市）（1）∵，

            设正方形的边长为，

            ∴，或（舍去）．

    （2）．

        ．

    （3）①当0≤＜4时，重叠部分为三角形，如图①．

           可得△∽△，

          ∴，=．

          ∴．

     

       ②当4≤＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．

         ．  

       ③当6≤＜8时，重叠部分为五边形，如图③．

        可得，，．

         =．

     

     ④当8≤＜10时，重叠部分为五边形，如图④．

      =．

    ⑤当10≤≤14时，重叠部分为矩形，如图⑤．

    ．

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