扬州市2006―2007学年度第二学期高三调研测试试题
数 学
本试卷选择题10题,非选择题11题,共21题,共150分,考试时间120分钟。
注意事项
1、 答题前考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡的密封线内.
2、 将每题的答案或解答写在答题卡上,在试卷上答题无效.
3、 考试结束,只交答题卡.
4、 参考公式:球的体积公式;一组数据的方差(其中为这组数据的平均数);独立重复试验概率公式.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,请将答案填写在第II卷答题栏内。
1.设全集=,,,则等于
A. B. C. D.
2.的展开式中,含有的正整数次幂的项共有
A.4项 B.3项 C.2项 D.1项
3.高三(10)班甲、乙两位同学6次数学测试的成绩如下表:
1
2
3
4
5
6
甲
122
120
125
116
120
117
乙
118
125
120
122
115
120
仅从这6次考试成绩来看,甲、乙两位同学数学成绩稳定的情况是
A.甲稳定 B.乙稳定 C.甲与乙一样稳定 D.不能确定
4.设为不同的平面,为不同的直线,则的一个充分不必要条件是
A. B.
C. D.
5.在中,已知,则
A.. B. .
C. D.
6.已知定义在R上的函数满足下列三个条件:
①对任意的x∈R都有
②对于任意的,都有
③的图象关于y轴对称.
则下列结论中,正确的是
A. B.
C. D.
7.A、B、C、D、E五个人住进编号为1,2,3,4,5的五个房间,每个房间只住一人,则B不住2号房间,且B,C两人要住编号相邻房间的住法种数为
A.24
B.
8.椭圆的中心、右焦点、右顶点、右准线与轴的交点依次为O、F、A、H,则的最小值为
A.2
B.
9.某学校的生物实验室里有一个鱼缸,里面有12条大小差不多的金鱼,8条红色,4条黑色,实验员每次都是随机的从鱼缸中有放回的捞取1条金鱼.若该实验员每周一、二、三3天有课,且每天上、下午各一节,每节课需要捞一条金鱼使用,用过放回.则该实验员在本周有课的这三天中,星期一上、下午所捞到的两条金鱼为同色,且至少有一天捞到不同的颜色金鱼的概率是
A. B. C. D.
10.设方程的两根为,(<),则
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.请将答案填写在横线上.
11.在坐标平面上,不等式组所表示的平面区域的周长为 ▲ .
12.已知函数的图象与直线的交点中最近的两点间的距离为,则函数的最小正周期等于 ▲
13.球O上两点A、B间的球面距离为,有一个内角为,则此球的体积是 ▲ .
14.已知双曲线的两条渐近线的夹角为,则其离心率为 ▲ .
15.若直线始终平分圆的周长,则 的最小值为 ▲ .
16.已知函数 (),其中[x]表示不超过x的最大整数,如[-2.1]=-3,[-3]=-3,[2.5]=2.定义是函数的值域中的元素个数,数列的前n项和为,则满足的最大正整数n= ▲ .
三、解答题:本大题共5小题,共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分) 中,角A、B、C所对的边分别为、、,已知
(1)求的值;
(2)求的面积。
18. (本题满分14分) 已知,点在轴上,点在轴的正半轴上,点在直线上,且满足,。
(1)当点在轴上移动时,求点的轨迹的方程;
(2)设为轨迹上两点,,,,若存在实数,使,且,求的值。
19.(本题满分14分)如图,已知正三棱柱中,,,三棱锥中,,且。
(1)求证:;
(2)求二面角的大小;
(3)求点到平面的距离。
20.(本题满分14分)设函数,已知 ,且(a∈R,且a≠0),函数(b∈R,c为正整数)有两个不同的极值点,且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。
(1)试求a、b的值;
(2)若时,函数的图象恒在函数图象的下方,求正整数的值。
21.(本题满分16分)已知数列{an}满足 ,,,为正数 .
(1)若对恒成立,求m的取值范围;
(2)是否存在,使得对任意正整数都有?若存在,求出的值;
若不存在,请说明理由。
一、选择题:(每小题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
D
A
B
C
C
D
二、填空题:(每小题5分,共30分)
11. ; 12. ; 13. ; 14. 2或; 15. ; 16. 9.
三、解答题:(5大题,共70分)
17.(1)由,得------------3分
为锐角,, -------5分
--------------------------6分
(2) ---8分
又,,得, --------------------------10分
--------------------------12分
(若通过得出,求出,
未舍去,得两解,扣2分.)
18.(1)设点,由得,,
由,得, ------------------------4分
即. ---------------------6分
(2)由(1)知为抛物线:的焦点,为过焦点的直线与的两个交点.
①当直线斜率不存在时,得,,. ----8分
②当直线斜率存在且不为0时,设,代入得
.设,
则,得, ----12分
(或)
,此时,由得
。 ---------------14分
19.解法一:
(1)在中,,,
∴,取中点,
, ,
在中,,,又均为锐角,∴, ---------------2分
,又外, . ---------------4分
(2)∵平面平面,∴,过作于,连结,则,
为二面角的平面角, ------------------------6分
易知=,∴,
二面角的大小为. ------------------------9分
(其它等价答案给同样的得分)
(3),点到平面的距离,就是到平面的距离,-------------------------------11分
过作于,则,的长度即为所求, 由上 (或用等体积求)----------------------------------14分
解法二:
如图,建立图示空间直角坐标系.
则,,,,.
(1)
(2)利用,其中分别为两个半平面的法向量,
或利用求解.
(3)利用,其中为平面的法向量。
20.(1),∴ ①
又,∴,即 ②
由①②得,.又时,①、②不成立,故.------2分
∴,设x1、x2是函数的两个极值点,则x1、x2是方程=0的两个根,,
∴x1+x2=,又∵ A、O、B三点共线, =,
∴=0,又∵x1≠x2,∴b= x1+x2=,∴b=0. ----------------6分
(2)时,, -----------------------7分
由得,可知在上单调递增,在
上单调递减, . ---------------------9分
①由得的值为1或2.(∵为正整数) -----------------11分
②时,记在上切线斜率为2的切点的横坐标为,
则由得,依题意得,
得与矛盾.
(或构造函数在上恒正)
综上,所求的值为1或2. -----------------------14分
21.(1)∵为正数, ①,=1,∴>0(n∈N*),……… 1分
又 ②,①―②两式相减得,
∴与同号, ---------------------4分
∴对n∈N*恒成立的充要条件是>0. ---------------------7分
由=>0,得>7 . ---------------------8分
(2)证法1:假设存在,使得对任意正整数都有 .
则,则>17 . --------------------9分
另一方面,==,---------11分
∴,,……,,
∴,∴=, ①
--------------------------------14分
当m>16时,由①知,,不可能使对任意正整数n恒成立,
--------------------------------15分
∴m≤16,这与>17矛盾,故不存在m,使得对任意正整数n都有 .
--------------------------------16分
(2)证法2:假设存在m,使得对任意正整数n都有 .
则,则>17 . --------------------9分
另一方面,, ------------------11分
∴,,……,,
∴, ① -----------------14分
当m>16时,由①知,,不可能使对任意正整数恒成立,
--------------------------15分
∴m≤16,这与>17矛盾,故不存在m,使得对任意正整数n都有 。 -----------------------------16分
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