江苏通州市高三第四次统一检测
数学试题
第Ⅰ部分必考内容
（命题单位：通州中学 满分160分，答卷时间120分钟）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案填写在答题纸相应位置上．
1．对于命题p：
，使得x 2+ x +1 < 0．则
为：_________．
2．复数
，
，则复数
在复平面内对应的点位于第_______象限．
3．“
”是“
”的
条件．
4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .
5．设
、
满足条件
，则
的最小值 ．
6．如果执行下面的程序框图，那么输出的
7．△ABC中，
，则△ABC的面积等于_________．
8．给出下列命题：
①变量 y与x之间的相关系数
，查表到相关系数的临界值为
，则变量
y与x之间具有线性关系；
② 
则不等式
恒成立；
③ 对于函数
若
则函数在
内至多有一个零点；
④ 
与
的图象关于
对称．
其中所有正确命题的序号是__________．
9．若∆ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则∆ABC的面积S＝r (a+b+c)
类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1、S2 、S3 、S4，则四面体的体积V＝
．
10．已知
，且关于x的函数f(x)=
在R上有极值，则
与
的夹角范围为_______．
11．已知数列
为等差数列，且
，则
________．
12．函数
的零点所在的区间是（n,n＋1），则正整数n=______．
13．四棱锥
的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：
则四棱锥的表面积为 ．
14．已知点P是抛物线
上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当
4时，
的最小值是
．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(本题满分12分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段
，
…
后
（1）求第四小组的频率，并补全这个画出如下部分频率分布直方图.
(2) 观察频率分布直方图图形的 信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．
16. （本题满分13分）如图，在正方体ABCD－A1B
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA
17．(本题满分15分)在
中，
分别是角A、B、C的对边， 
，且
．
（1）求角A的大小；
（2）求
的值域．
18．(本题满分15分)椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且
．
（1）求椭圆方程；
（2）若
，求m的取值范围．
19．（本题满分16分）已知数列
的首项
，前
项和为
，且
、、
（n ≥2）分别是直线
上的点A、B、C的横坐标，
，设
，
．
⑴ 判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论；
⑵ 设
，证明：
．
20．对于函数
，若存在
，使
成立，则称
为的不动点。如果函数
有且仅有两个不动点
、
，且
。
（1）试求函数的单调区间；
（2）点
从左到右依次是函数
图象上三点，其中
求证：ㄓ
是钝角三角形．
第Ⅱ部分 加试内容
（命题单位：通州中学 满分40分，答卷时间30分钟）
一．必答题：本大题共2小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．（本小题满分10分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，f6(x)=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数
的分布列和数学期望.
2．（本小题满分10分）已知数列满足
，且
（
）
（1）求
的值；
（2）由（1）猜想的通项公式，并给出证明．
二、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3．（几何证明选讲）（本小题满分10分）如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF?EC.
（1）求证：ÐP=ÐEDF；
(2)求证：CE?EB=EF?EP．
4．（矩阵与变换）
（本小题满分10分）设
是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到
倍的伸压变换． 求逆矩阵
以及椭圆
在的作用下的新曲线的方程．
5．（坐标系与参数方程）
（本小题满分10分）已知直线经过点
,倾斜角
，
（1）写出直线的参数方程;
（2）设与圆
相交与两点
，求点
到两点的距离之积.
6．（不等式选讲）
（本小题满分10分）设
求
的最大值.
江苏通州市高三第四次统一检测
数学试题（答卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．
1．________________2．_____________3．_______________ 4．____________
5．_______________6．______________7．_______________ 8．____________
9．_______________ 10．____________ 11．______________ 12．___________
13．_________________ 14．_______________
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(本题满分12分)
16. （本题满分13分）
17．(本题满分15分)
18．（本题满分16分）
19．（本题满分16分）
20．(本题满分18分)
江苏通州市高三第三次统一检测数学答卷
第Ⅱ部分 加试内容
一．必答题：本大题共2小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．（本小题满分10分）
2．（本小题满分10分）
选答题1，你所选择的题号是 ．
解：
选答题2，你所选择的题号是 ．
解：
一、填空题：
1．
，均有x 2+ x +1≥0 2．第一象限 3．充分而不必要条件 4． 0.01
5． 4 6． 2550 7． 
8．①④ 9． R(S1＋S2＋S3＋S4)
10．
，11． 
12．1
13．
14． 
二、解答题：
15．（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
3′
直方图如右所示 6′
（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为 
所以，抽样学生成绩的合格率是
%.. 9 ′
利用组中值估算抽样学生的平均分
＝
＝71
估计这次考试的平均分是71分 12′
16.（1）证明:连结BD.
在长方体
中，对角线
.
又
E、F为棱AD、AB的中点，
.
.
又B1D1平面
，
平面
，
EF∥平面CB1D1. 6′
（2） 在长方体中，AA1⊥平面A1B
AA1⊥B1D1.
又在正方形A1B
B1D1⊥平面CAA
又 B1D1平面CB1D1，
平面CAA
17． （1）由
得
4′
由正弦定理得
6′
8′
（2）
=
10′
=
12′
由（1）得
15′
18．（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝，
故C的方程为：y2＋＝1 5′
（2）由＝λ，
∴λ＋1＝4，λ＝3 或O点与P点重合= 7′
当O点与P点重合=时，m=0
当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。
设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（
x1＋x2＝， x1x2＝ 11′
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1
容易验证k2>
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）∪｛0｝ 16′
19． ⑴由题意得
4′
（n≥2），
又∵
，
数列
是以
为首项，以2为公比的等比数列。 8′
[则
（
）]
⑵由及
得
，
11′
则
13′
16′
20． （1）设
∴
∴
由
又∵
∴
∴
6′
于是
由
得
或
； 由
得
或
故函数
的单调递增区间为
和
，
单调减区间为
和
10′
（2）证明:据题意
且x1<x2<x3,
由(1)知f (x1)>f (x2)>f (x3),
14′
即ㄓ
是钝角三角形．
18′
第Ⅱ部分 加试内容
一．必答题：
1．（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知
4′
（2）ξ可取1，2，3，4.
，
； 8′
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
答：ξ的数学期望为
10′
2．（1）由
得
，
求得
3′
（2）猜想
5′
证明：①当n=1时，猜想成立。 6′
②设当n=k时
时，猜想成立，即
， 7′
则当n=k+1时，有
，
所以当n=k+1时猜想也成立 9′
③综合①②，猜想对任何
都成立。
10′
二、选答题：
3．（1）∵DE2=EF?EC，
∴DE : CE=EF: ED．
∵ÐDEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．
∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．
∴ÐP=ÐEDF．----5′
（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP． 10′
4．（矩阵与变换）
解：．
，
5′
椭圆
在
的作用下的新曲线的方程为
10′
5．（1）直线的参数方程为
，即
． 5′
（2）把直线代入
，
得
，
，
则点
到
两点的距离之积为
．
10′
6．
7′
当且仅当
且
F有最小值
10′
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