天津市南开区2008高三年级质量调查（一）

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。

第I卷

一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知i是虚数单位，则（    ）

A.              B.               C.           D.

2. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）

A. 11            B. 12             C. 13            D. 14

3. 在△ABC中，“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件               B. 必要而不充分条件

C. 充要条件                             D. 既不充分也不必要条件

4. 设椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，离心率为，则此椭圆的标准方程为（    ）

A.          B.

C.          D.

5. 函数的反函数是（    ）

A.                  B.

C.                   D.

6. 若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中是真命题的是（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，则

C. 若，则

D. 若，则

7. 若是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（    ）

A.           B.            C.               D.

8. 设是公比大于1的等比数列，构成等差数列，且前三项的和，那么公比q的值等于（    ）

A.            B. 2        C.             D. 3

9. 已知函数，则的值为（    ）

A.             B.             C.           D.

10. 已知是定义在R上的单调函数，实数，，，若，则（    ）

A.              B.              C.               D.

第II卷

二. 填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请把答案填在题中横线上。

11. 在的二项展开式中常数项的值等于        （用数字作答）。

12. 过球面上A、B、C三点的截面与球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，那么球的表面积等于         。

13. 数列中，，，则等于     。

14. 两圆交于点A（1，3）和B（m，1），两圆的圆心都在直线上，则m+c的值等于         。

15. 设是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的单位向量，且，，则△ABC面积的值等于         。

16. 如图，在一个田字形区域A、B、C、D中栽种观赏植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻区域中种不同植物（A与D、B与C不为相邻）。现有4种不同植物可供选择，则不同的种植方案有       种。（用数字作答）

三. 解答题：本大题共6个小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

已知函数。

（1）求的值；

（2）求的最小正周期和在区间上的最大值和最小值。

18. （本小题满分12分）

某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。

（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；

（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；

（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列。

19. （本小题满分12分）

已知如图，在四棱锥P―ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PD：DC：BC=。

（1）证明BC⊥平面PDC；

（2）求二面角D―PB―C的正切值；

（3）若，求证：平面PAB⊥平面PBC。

20. （本小题满分12分）

已知函数。

（1）若函数的导函数是奇函数，求的值；

（2）求函数的单调区间。

21. （本小题满分14分）

如图，是抛物线上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|。

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程。

22. （本小题满分14分）

设函数满足，数列和满足下列条件：，，。

（1）求的解析式；

（2）求的通项公式；

（3）试比较与的大小，并证明你的结论。

一. 选择题：本题考查基础知识和基本运算。

1. B     2. A      3. C              4. A              5. D        6. D        7. D        8. B

9. D    10. A

二. 填空题：本题考查基础知识和基本运算。

11. 7          12.             13             14. 3

15. 5          16. 84

三. 解答题：

17. 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角和公式、二倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力。

（1）解：，

∴

（5分）

（2）解：

最小正周期为

∵      ∴

    ∴ （12分）

18. 本小题要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。

（1）解：设“射手射击1次，击中目标”为事件A

则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率

=（5分）

（2）解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率

（10分）

（3）由题设，“”的概率为

且所以的分布列为：

3

4

…

k

…

P

…

…

（12分）

19. 本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。

（1）解：由PD⊥平面ABCD，平面ABCD，得PD⊥BC

由AD⊥DC，AD//BC，得BC⊥DC

又，则BC⊥平面PDC（3分）

（2）解：取PC中点E，连DE，则DE⊥PC

由BC⊥平面PDC，平面PBC

得平面PDC⊥平面PBC  ∴ DE⊥平面PBC

作EF⊥PB于F，连DF

由三垂线定理，得DF⊥PB

则∠DFE为二面角D―PB―C的平面角

在中，求得

在中，求得

在中，

即二面角D―PB―C的正切值为（8分）

（3）证：取PB中点G，连AG和EG

由三角形中位线定理得GE//BC，

由已知，AD//BC，

∴ AD=GE，AD//GE

则四边形AGED为平行四边形

∴ AG//DE

由（2）已证出DE⊥平面PBC

∴ AG⊥平面PBC

又平面PAB    ∴ 平面PAB⊥平面PBC（12分）

20. （本小题考查导数的意义，两个函数的和、差、积、商的导数，考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

（1）解：由已知得

∵ 函数的导函数是奇函数

∴    解得（5分）

（2）由

① 当时，恒成立

∴ 当时，函数在R上单调递减

② 当时，解得

即

∴ 当时，在内单调递增，在内单调递减（12分）

21. 本小题主要考查抛物线的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力。

（1）解：设，直线ME的斜率为，则直线MF的斜率为，直线ME的方程为)

由得

解得

所以    ∴

同理可得     ∴

∴ （定值）（8分）

（2）解：当∠EMF=90°，∠MAB=45°，所以k=1

由（1）得

设重心则有

消去参数得（14分）

22. 本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的通项公式，不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数字知识分析问题和解决问题的能力。

（1）解：由已知  

∴

联立解得（4分）

（2）解：由（1）知    ∴

两式相减

即    ∴

∴    ∴ 数列是公比为2的等比数列

又∵      ∴    ∴    ∴

∴      ∴ （10分）

（3）解：由（2），而已知

联立解得     ∴

∴

时，   ∴ ；

时，    ∴ ；

时，    ∴ ；

时，    ∴ ；

猜想时，   即

时，显然成立

假设当时，命题正确，即

当时，

即

不等式也成立，故对一切且，

综合：当时，；当时，；当时，（14分）