绝密
数学试卷
时量150分钟，满分150分
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在1次实验中发生的概率是P，那么n次独立重复实验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式
，体积公式
， 其中R表示球的半径
得分
评卷人
复评人
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．函数
(x>1)的反函数为y=
,则
等于 ……………………（ ）
A．3 B．2 C．0 D．-2
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2．设集合
，
，则集合
的子集个数最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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3． 从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为直角，则双曲线的离心率为……… （ ）
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4．过P（1，1）作圆
的弦AB，若
，则AB的方程是………（ ）
A y=x+1
B.y=x +2
C.y= -x+2 D.y= -x-2
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5．在
展开式中，
的系数是 ………………………………………… （ ）
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A． 
B． 
C．297
D．207
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6．函数
的单调递增区间是 ………………………………………… （ ）
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7．若
，则b的取值范围是 ………………………………………… （ ）
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8．设
，则y=
的最小值为 ………………………………………… （ ）
A．24 B．25 C．26 D．1
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9．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法 ……………………………………………………………………………（ ）
A．24种 B．72种 C．84种
D．120种
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10．平面
的一条斜线
与平面交于点P，Q是上一定点，过点Q的动直线
与垂直，那么与平面交点的轨迹是……… （ ）
A．直线 B. 圆 C. 椭圆
D. 抛物线
（第9题图）
得分
评卷人
复评人
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二、填空题（本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
11．
.
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12．不等式
的解集为
．
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15．将一个钢球置于由6根长度为
m的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么，这个钢球的最大体积为 
.
得分
评卷人
复评人
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三．解答题(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
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已知
的外接圆的半径为
,内角A、B、C的对边分别为a、b、c，又向量
，
,且
（I）求角C;
（II）求三角形ABC的面积S的最大值．
得分
评卷人
复评人
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17．（本小题满分12分）
湖南省某单位从5名男职工和3名女职工中任意选派3人参加省总工会组织的“迎奥运，争奉献”演讲比赛．
（I）求该单位所派3名选手都是男职工的概率;
（II）求该单位男职工、女职工都有选手参加比赛的概率；
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（III）如果参加演讲比赛的每一位选手获奖的概率均为
，则该单位至少有一名选手获奖的概率是多少？
得分
评卷人
复评人
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18. （本小题满分12分）
把边长为2的正三角形ABC沿BC上的高AD折成直二面角，设折叠后BC的中点为P.
（I）求异面直线AC，PD所成的角的余弦值;
（II）求二面角C―AB―D的大小;
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（III）在AB上是否存在一点S，使得
？若存在，试确定S的位置，若不存在，试说明理由.
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得分
评卷人
复评人
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设函数
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（II）若
时，
恒成立，且
，求实数a的取值范围．
得分
评卷人
复评人
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已知曲线C上的动点M到y轴的距离比到点F（1，0）的距离小1.
（I）求曲线C的方程;
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（II）过F作弦PQ、RS，设PQ、RS的中点分别为A、B，若
，求
最小时，弦PQ、RS所在直线的方程;
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（III）是否存在一定点T，使得
？若存在，求出P的坐标，若不存在，试说明理由.
得分
评卷人
复评人
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（I）建立
与
的关系式；
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（II）证明：
是等比数列；
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一．
选择题（每小题5分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
D
B
C
B
C
A
二．
填空题（每小题5分）
11．
12。
13。-1
14。
15。
三．
解答题
……………2分
且2R=
，由正弦定理得：
化简得： 
……………4分
由余弦定理：
……………11分
所以，
……………12分
17．解：（I）记事件A=“该单位所派的选手都是男职工” ……………1分
则P（A）=
……………3分
（II）记事件B=“该单位男职工、女职工选手参加比赛”
……………4分
则P（B）=
……………7分
（III）设该单位至少有一名选手获奖的概率为P，则
或
……………12分
18．（解法一）（I）取AB的中点为Q，连接PQ，则
，所以，
为AC与BD所成角……………2分
又CD=BD=1，
，而PQ=1，DQ=1
……………4分
（II）过D作
，连接CR，，
……………6分
在
，
……………8分
……………9分
（解法二）（I）如图，以D为坐标原点，DB、AD、DC所在直线分别为x,y,z轴建立直角坐标系。则A（
），C（0，0，1），B（1，0，0），P（
），D（0，0，0）
，
……2分
所以，异面直线AC与BD所成角的余弦值为
……………4分
（II）面DAB的一个法向量为
………5分
设面ABC的一个法向量
，则
,取
，……………7分
则
……………8分
…………9分
（III）不存在。若存在S使得AC
，则
，与（I）矛盾。故不存在…12分
19．解：（I）
在区间
上递减，其导函数
……………1分
……………4分
故
是函数
在区间上递减的必要而不充分的条件……………5分
（II）
……………6分
当a>0时，函数
在（
）上递增，在
上递减，在
上递增，故有
……………9分
当a〈0时，函数在上递增，
只要
令
，则
…………11分
所以
在
上递增，又
不能恒成立。
故所求的a的取值范围为
……………12分
20．解：（I）由条件，M到F（1，0）的距离等于到直线 x= -1的距离,所以，曲线C是以F为焦点、直线 x= -1为准线的抛物线，其方程为
……………3分
（II）设
，代入得：
……………5分
由韦达定理
，
……………6分
，只要将A点坐标中的
换成
，得
……7分
……………8分
所以，
最小时，弦PQ、RS所在直线的方程为
，
即
或
……………9分
（III）
，即A、T、B三点共线。
是否存在一定点T，使得
,即探求直线AB是否过定点。
由（II）知，直线AB的方程为
………10分
即
，直线AB过定点（3，0）．……………12分
故存在一定点T（3，0），使得……………13分
21．解：（I）因为曲线在
处的切线与
平行
……………4分
，
（III）。由（II）知：
=
，从而
……………11分
，
B．
D．
B． 
B． 
C．
D．
上的动点，
和
分别是椭圆的左、右顶点，则
的
是定义在R上的奇函数，且
，
，则
．
是函数
上递减的必要而不充分的条件；
，C上的两点A、
的横坐标分别为2与
，
，数列
满足
（
且
，
）．设区间
，当
时，曲线C上存在点
，使得点
处的切线与
平行．
对一切
恒成立时，求t的范围．