西安中学

师大附中

高2008届第一次模拟考试

高新一中

长安一中

数学（理）试题

命题人：师大附中 孙永涛

审题人：师大附中 李  涛

注意事项：  

1．  本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间150分钟。

2．  答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试题卷指定的位置上。

3．  选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

4．  非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。

5．  考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一.选择题（本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.已知复数满足，则等于(    )

A.        B.        C.         D.

2.已知，下列不等式中成立的是(    )

A.          B.         C.           D.

3.下列函数中，周期是1且是奇函数的是 (    )

A.                  B.

C.                      D.

4.在正项等比数列中，，那么等于(    )

A.28                B.32               C.35               D.49

5.已知是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下面四个命题

①若，则；②若，则；③若，，则；④若是异面直线，，，则。其中真命题的编号是(    )

A.①②             B.①③            C.③④            D.①④

6.设是函数的反函数，若，则的值是(    )

A.1                B.2               C.3               D.

7.直线与圆相切于点，则的值等于(    )

A.               B.            C.             D.

8.函数在实数上可导，且满足，则必有(    )

A.                 B.

C.                 D.

9.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有(    )

A.1条            B.2条             C.3条               D.4条

10.点是内一点，且，则等于 (    )

A.             B.              C.                 D.

11.在某次数学模拟测验中记学号是的学生的成绩是，若，且满足，则这4位同学的考试成绩所有的可能有(    )

A.15种          B.20种            C.30种               D.35种

12.已知定义域是的函数满足，且当时，单调递增，若，且，则的值（    ）

A.恒小于0      B. 恒大于0         C.可能为0           D.可正可负

第II卷

二.填空题（每小题4分，满分16分）

13.设满足约束条件：，则的最大值是           .

14.一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距海里.此船的航速是      海里/小时.

15.如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在

平面的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点

到的距离分别为2、3和5，P是正方体

的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：

①5    ②6    ③7    ④8    ⑤10

以上结论正确的为______________（写出所有正确结论的编号）. 

16.某中学为高一学生开设了摄影、健美、足球、管弦乐四门选修课程。统计学生的报名情况，有下列结果：①报摄影的同学没有报健美；②报健美的同学也报了管弦乐；③报足球的同学没有报管弦乐；④没有报足球的同学报了健美。在下面判断中，正确判断的编号是_______（写出所有正确结论的编号）.

①报管弦乐的同学也报了摄影；②没有报管弦乐的同学报了摄影；③报健美的同学人数与报管弦乐的同学人数相等；④没有任何同学，同时报了足球和健美；⑤报了摄影的同学也报了足球.

三.解答题（满分74分）

17.（12分） 已知（为常数）.

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）若在上的最大值与最小值之和为3，求的值.

18.（12分） 在举办的奥运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是.

    （Ⅰ）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率；

    （Ⅱ）求回答对这道题目的人数的随机变量的分布列和期望.

19.（12分） 如图，四边形是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为.

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值.

20.（12分）椭圆的离心率，是椭圆上关于轴均不对称的两点，线段的垂直平分线与轴交于点.

（Ⅰ）设的中点为，求的值；

（Ⅱ）若是椭圆的右焦点，且，

求椭圆的方程.

21.（12分）已知数列满足

（I） 求数列的通项公式；

（II）证明：.

21.（14分）已知函数,

（Ⅰ）求的值域；

（Ⅱ）设为方程的根，求证：当时，；

（Ⅲ）若方程有4个不同的根，求的取值范围.

高2008届四校联考第一次模考

一.选择题（每小题5分，满分60分）

DBDAD     BACCA  D A

二.填空题（每小题4分，满分16分）

13.3   14.32     15.①③④⑤       16.③④⑤

三.解答题（满分74分）

17．(12分)  解：（Ⅰ）

，则，

即的单调递增区间是…………………………6分

（Ⅱ），那么

即，所以………………………………12分

18．（12分）（Ⅰ）设乙、丙各自回答对的概率分别是，根据题意得：

，解得，…………………………………………6分

（Ⅱ）可能取值0，1，2，3，分布列如下：

0

1

2

3

   ………………………………………12分

19. （12分）

（Ⅰ）∵

∴平面

又∵平面

∴平面平面………………4分

（Ⅱ）取的中点，则，连结，

∵，且∴四边形是平行四边形,

∴，从而

作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，

从而为二面角的平面角

直线与直线所成的角为   ∴

在中，由余弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小为………………………………12分

20．（ 12分）

解：（Ⅰ）设，，代入椭圆方程得，，两式相减整理得：，由于，；根据得，所以，即，则………………6分

（Ⅱ）

由于，那么，那么，所以

，，故所求椭圆的方程是………………12分

21. (满分12分) （I）解：由得,是以为首项，2为公比的等比数列。即　   ………………4分

II证明：∵ ，∴

又∵

       ∴

       ∴                ………………12分

22.（14分）

（Ⅰ），则，由于，则值域是…………………………………………………………………………………2分

（Ⅱ）是方程，那么，令，则，那么是单调减函数，当时，，即

所以当时，……………………………………………………………8分

（Ⅲ）令

当时，，所以在和上单调递增；

当时，，所以在和上单调递减；

当时，

当时，；当时，；当时，

所以有四个不同的根时，所以.…………………………14分