2009高考数学经典试题汇编
1. 下表给出一个“等差数阵”：
4
7
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
7
12
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数．（1）写出
的值； （2）写出的计算公式；（３）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．
讲解 学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值．
（1）
按第一行依次可读出：
，
；按第一行依次可读出：
，
；最后，按第５列就可读出：
．
（２）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是：
而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式为：
…… 通过递推易知，第i行是首项为
，公差为
的等差数列，故有
（３）先证必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得
．从而 
，这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．再证充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得
，从而 
，由此可见N在该等差数阵中．
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
2. 求
。
3. “渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是 
。
4. 函数
及其反函数的图象与函数
的图象交于A、B两点，若
，则实数
的值等于_________。 
5. 从装有
个球（其中
个白球，
个黑球）的口袋中取出
个球
，共有
种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有
种取法；另一类是取出的个球有
个白球和个黑球，共有
种取法。显然
，即有等式：
成立。试根据上述思想化简下列式子：
。
6. 某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润
（单位：万元）与年数
满足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用 （
C ）
（A）3年 （B）4年 （C）5年 （D）6年
7. （14分）已知函数
，且
（1）求
的值；（2）试判断是否存在正数
，使函数
在区间
上的值域为
。若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由。
解：（1）∵，∴
，即
，∵
，∴
（2）
， 
；当
，即
时，
；当
时，∵
，∴这样的不存在。当
，即
时，
，这样的不存在。综上得，
。
8.
（14分）如图，设圆
的圆心为C，此圆和
抛物线
有四个交点，若在轴上方的两个交
点为A、B，坐标原点为O，
的面积为S。
（1） 求P的取值范围；
（2）
求S关于P的函数
的表达式及S的取值范围；
（3）
求当S取最大值时，向量
的夹角。
解：（1）把 
代入 得 
由 
， 得 
，即 
（2）设
，
的方程：
， 即 
即 
， 即 
点O到AB的距离
，又
∴
， 即 
（3）
取最大值时，
，解方程
，得
，
∴向量的夹角的大小为
。
9.
（16分）前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为
亿美元。同时美国战后每月还要投入约
亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约
亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以
的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？
解：设个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则
即
，
，即
个月后，美国才能收回在伊的“投资”。
10.
数列
的第2004项是____________。63
11.
在等比数列
中，
，公比
，若
，则
达到最大时，
的值为____________。8
12.
设函数
，且①
；②
有两个单调递增区间，则同时满足上述条件的一个有序数对
为______________。满足
的任一组解均可
13.
已知两条曲线
（
不同时为0）.则“
”是“
与
有且仅有两个不同交点”的
A
(A)充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
14.
已知二次函数
有最大值且最大值为正实数，集合
，集合
。
（1）求
和
；
（2）定义与的差集：
且
。
设
，
，
均为整数，且
。
为取自
的概率，
为取自
的概
率，写出与的三组值，使
，
，并分别写出所有满足上述条件的（从
大到小）、（从小到大）依次构成的数列{
}、{
}的通项公式（不必证明）；
（3）若函数
中，
，
（理）设
、
是方程
的两个根，判断
是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。
（文）写出的最大值
，并判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应
的值；若不存在，请说明理由。
（1）∵
有最大值，∴
。配方得
，由
。
∴
，
。
（2）要使
，
。可以使①
中有3个元素，
中有2个元素， 
中有1个元素。
则
。②中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则
。
③中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素。则
。
。
（3）（理）
，得
。
，
∵
，当且仅当
时等号成立。∴
在
上单调递增。
。
又
，故没有最小值。
（文）∵
单调递增，∴
，又
，∴没有最大值。
15. 
把数列
的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如下数表：
第行有
个数，第
行的第
个数（从左数起）记为
，
则
。
16. 我边防局接到情报，在海礁AB所在直线
的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕。如图，已知快艇出发位置在的另一侧码头
处，
公里，
公里，
。
（1）（10分）是否存在点M，使快艇沿航线
或
的路程相等。如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由。
（2）（4分）问走私船在怎样的区域上时，路线
比路线
的路程短，请说明理由。
解：（1）建立直角坐标系（如图），
，
点M的轨迹为双曲线的一部分，
，
即
点M的轨迹方程为
（2）走私船如在直线的上侧且在（1）中曲线的左侧的区域时，
路线
的路程较短。
理由：设
的延长线与（1）中曲线交于点
，
则
17. 已知函数
对任意的整数
均有
，且
。
（1）（3分）当
，用的代数式表示
；
（2）（理）（10分）当，求
的解析式；
（文）（ 6分）当
，求的解析式；
（3）如果
，且
恒成立，
求的取值范围。（理5分；文9分）
解：（1）令
（2）（理）当
时，
，
上述各式相加，得
当
时，
上述各式相加，得
，即
综上，得
。
（文），
（3）
恒成立
令
，
是减函数
∴
18.
设A（x1，y1），B（x2，y2）是两个互异的点，点P的坐标由公式
确定，当
R时，则
（ C ）
A．P是直线AB上的所有的点 B．P是直线AB上除去A的所有的点
C．P是直线AB上除去B的所有点 D．P是直线AB上除去A、B的所有点
19.
设
（n∈N）的整数部分和小数部分分别为In和Fn，则Fn (Fn+In)的值为（A ）
A．1 B．
20. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下0001，0002，0003，…1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 ．0795
21.
设x、y、z中有两条直线和一个平面，已知命题
为真命题，则x、y、z中一定为直线的是
．z
22. 秋收要到了，粮食丰收了。某农户准备用一块相邻两边长分别为a、b的矩形木板，在屋内的一个墙角搭一个急需用的粮仓，这个农户在犹豫，是将长为a的边放在地上，还是将边长为b的边放在地上，木板又该放在什么位置的时候，才能使此粮仓所能储放的粮食最多。请帮该农户设计一个方案，使粮仓所能储放的粮食最多（即粮仓的容积最大）
设墙角的两个半平面形成的二面角为定值α 。将b边放在地上，如图所示，则粮仓的容积等于以△ABC为底面，高为a的直三棱柱的体积。
由于该三棱柱的高为定值a，于是体积取最大值时必须△ABC的面积S取最大值。
设AB= x，AC = y ，则由余弦定理有
≥
，
于是，
≤
，
从而，S=
≤
。
当且仅当x=y时，S取最大值。
故当AB=AC时，(Vb)max
= 
。
同理，当a边放在地上时，(Va)max = 
。
显然，当a＞b时，(Va)max ＞(Vb)max ；当a＜b时，(Va)max ＜(Vb)max ；当a=b时，(Va)max = (Vb)max 。
故当a＞b时，将a边放地上，且使底面三角形成以a为底边的等腰三角形；当b＞a时，将b边放地上，且使底面三角形成以b为底边的等腰三角形；当a=b时，无论将a边还是b边放在地上均可，只须使底面三角形构成以所放这条边为底边的等腰三角形即可。
23. 已知一个数列{an}的各项是1或3．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前n项的和为Sn．
（Ⅰ）试问第2004个1为该数列的第几项？
（Ⅱ）求a2004；
（Ⅲ）S2004；
（Ⅳ）是否存在正整数m，使得Sm=2004？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；
为第k对，共1+（2k-1）=2k项；…．故前k对共有项数为
2+4+6+…+2k=k(k+1)．
（Ⅰ）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为
2003(2003+1)+1=4014013（项）．
（Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而a2004=3．
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