2009年龙岩市高中毕业班质量检查
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页. 全卷满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的标准差：
s=
，其中
为样本平均数；
柱体体积公式：V=Sh ，其中S为底面面积，h为高；
锥体体积公式：V=
Sh，其中S为底面面积，h为高；
球的表面积、体积公式：
，
，其中R为球的半径.
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一
1. 已知复数
，则
的共轭复数是
A.
B.
C.
D.
2. 正项等比数列
中，若
，则
等于
A. -16 B.
3. 已知随机变量
，若
，则
等于
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 Ｄ. 0.4
4. 已知两个向量a、b满足a
b =－
，| a
|=4，a和b的夹角为135°，则| b |为
A. 12 B.
3 C.
6 D.
5. 若
，且
, 则实数
的值为
Ａ. 1或3 Ｂ. -3 C. 1 Ｄ. 1或 -3
6. 实数
、
满足
则=
的取值范围是
A. [－1,0] B.
－∞,0] C.
[－1,+∞
D. [－1,1
7. 过抛物线
的焦点作直线
交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则
等于
A．10 B．8 C．6 D．4
8. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为
，得2分的概率为
，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、
，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
9. 设函数
则函数
的零点个数为
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
10. 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差.设数列
是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将
这种顺序的排列作为某种密码，则这种密码的个数为
A. 18个 B. 256个 C. 512个 D. 1024个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.
11. 假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费（万元），有如下的统计资料
使用年限
2
3
4
5
6
维修费用
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料可知和呈相关关系，由表中数据算出线性回归方程
中的
=
，据此估计，使用年限为10年时的维修费用是
万元.
（参考公式：
，
）
12. 已知某算法的流程图如图所示，则输出的结果是_______________.
13. 一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、
俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的
外接球的表面积是 .
14. 设函数
(
)，若
，
，则
=
.
15. 已知集合
,
有下列命题
①若
则
.
②若
则
.
③若
则
的图象关于原点对称.
④若
则对于任意不等的实数
，总有
成立.
其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分13分）
已知
的三个内角
、
、
所对的边分别为
、、
,且
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值.
17.（本小题满分13分）
如图，正方形
所在平面与等腰直角三角形
所在平面
互相垂直，
，点
分别为
的中点.
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）线段
上是否存在一点
，使
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，请求出
的
值；若不存在，请说明理由．
18. （本小题满分13分）
某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台. 当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售台；根据市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的
百分率为
，那么月销售量减少的百分率为
.记销售价提高的百分率为时，
电脑企业的月利润是（元）.
（Ⅰ）写出月利润（元）与的函数关系式；
（Ⅱ）试确定笔记本电脑的销售价，使得电脑企业的月利润最大.
19.（本小题满分13分）
如图，已知椭圆:
的一
个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点
构成等边三角形.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点
(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的
对称点为
.
（?）求证：直线
过轴上一定点，并求出此定点坐标；
（?）求△
面积的取值范围.
20.（本小题满分14分）
已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；
（Ⅱ）数列满足：
，且
,记数列
的前n项和为
，
且
.
（?）求数列的通项公式；并判断
是否仍为数列中的项？若是，请证明；否则，说明理由.
（?）设
为首项是
,公差
的等差数列，求证：“数列中任意不同两项之和仍为数列中的项”的充要条件是“存在整数
，使
”.
21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
若点
在矩阵
对应变换的作用下得到的点为
，求矩阵的逆矩阵．
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是
参数），点
是曲线上的动点，点是直线上的动点，求|
|的最小值．
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
已知实数
满足
且
的最大值是7，求的值．
2009年龙岩市高中毕业班质量检查
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.
1. A 2. C 3. C 4.C 5.D 6.D 7. B 8. D 9. B 10. C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分20分.
11. 12.38 12. 5 13. 3
14. 
15. ②③
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 本小题主要考查正弦定理、三角函数的倍角公式、两角和公式等基本知识，考
查学生的运算求解能力. 满分13分.
解：（Ⅰ）由
，知
………………………（2分）
又
，得
，
，
………………………（5分）
故
………………………（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知
，
………………………………（9分）
，
当
，即
时，
取得最大值为
． ……………（13分）
17. 本题主要考查线线、线面、面面位置关系，线面角等基本知识，考查空间想像能力，运算求解能力和推理论证能力.
满分13分.
解：（Ⅰ）证明：如图，取
中点
，连结
，
；
∥
，
∥
，
又
，
，
，…………（3分）
四边形
为平行四边形，
∥，
又
平面
，
平面，
∥平面．
………………………（6分）
（Ⅱ）依题意知平面
平面
，
，
平面，得
又
，.
如图，以
为原点，建立空间直角坐标系-xyz，
，可得
、
、
，
.
设平面的一个法向量为
，
由
得
解得
，
．
………………………（9分）
设线段
上存在一点
，其中
，则
，
，
依题意：
，即
，
可得
，解得
（舍去）．
所以上存在一点
． …………（13分）
18．本题主要考查函数与导数等基本知识，考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力，
考查应用意识. 满分13分.
解：（Ⅰ）依题意，
销售价提高后为6000（1+
）元/台，月销售量为
台……………（2分）
则
……………………（4分）
即
． ……………………（6分）
（Ⅱ）
令
，得
，
解得
舍去）．
……………………（9分）
当
当
当
时，
取得最大值．
此时销售价为
元．
答：笔记本电脑的销售价为9000元时，电脑企业的月利润最大．…………………（13分）
19．本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.
满分13分
解：（Ⅰ）因为椭圆
的一个焦点是（1，0），所以半焦距
=1.
因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
所以
，解得
所以椭圆的标准方程为
. …（4分）
（Ⅱ）（i）设直线
：
与联立并消去得：
.
记
，
，
，
. ……………（5分）
由A关于轴的对称点为
，得
，
根据题设条件设定点为
（
，0），
得
，即
.
所以
即定点（1 ，
0）.
……………………………………（8分）
（ii）由（i）中判别式
，解得
.
可知直线
过定点
(1,0).
所以
……………（10分）
得
, 令
记
，得
，当
时，
.
在
上为增函数.
所以
，
得
.
故△OA1B的面积取值范围是
.
……………（13分）
20. 本题主要考查函数的单调性、等差数列、不等式等基本知识，考查运用合理的推理证明解
决问题的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.
解：（Ⅰ）因为
，
所以
.
………………（1分）
（i）当
时，
.
（ii）当
时，由
，得到
，知在
上.
（iii）当
时，由，得到，知在
上.
综上，当
时，
递增区间为；当时, 
递增区间为
.
………………………………………（4分）
（Ⅱ）（i）因为
，
所以
，即
，
，即
. ……………………………………（6分）
因为
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
.
…………………………（8分）
又因为
，
所以令
，则
得到
与
矛盾，所以
不在数列
中. ………（9分）
（ii）充分性：若存在整数
，使
.
设
为数列
中不同的两项，则
.
又
且,所以
.
即
是数列的第
项. ……………………（10分）
必要性：若数列中任意不同两项之和仍为数列中的项，
则
，
，（
，为互不相同的正整数）
则
，令
，
得到
，
所以
，令整数
，所以. ……（11
分）
下证整数
若设整数
则
.令
，
由题设取
使
即
，所以
即
与
相矛盾，所以.
综上, 数列中任意不同两项之和仍为数列中的项的充要条件是存在整数，使.
……………………（14分）
21. （1）本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换等基本知识，考查运算求解能力， 满分7分.
解：
，即
，
所以
得
……………………（4分）
即M=
，由
得
.
或
=1
, 
. …………………（7分）
（2）本题主要考查圆极坐标方程和直线参数方程等基本知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想. 满分7分.
解：曲线的极坐标方程
可化为
,
其直角坐标方程为
，即
. ……………（2分）
直线的方程为
.
所以，圆心到直线的距离
……………………（5分）
所以，
的最小值为
.
…………………………（７分）
（3）本题主要考查柯西不等式与不等式解法等基本知识，考查化归与转化思想. 满分7分.
解：由柯西不等式：
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