在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，－）、（0，）的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.

(Ⅰ)写出C的方程；

(Ⅱ)设直线y=kx+1与C交于A、B两点.k为何值时此时||的值是多少？

(22)（本小题满分14分）

设函数f(x)=ax³+bx²－3a²x+1(a、b∈R)在x=x₁，x=x2处取得极值，且|x₁－x₂|=2.

(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范围.

2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（供文科考生使用）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

参考公式：

如果事件互斥，那么                                       球的表面积公式

       如果事件相互独立，那么                                其中表示球的半径

                                                    球的体积公式

       如果事件在一次试验中发生的概率是，那么         

       次独立重复试验中事件恰好发生次的概率                 

                        其中表示球的半径

只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（  D  ）

A．           B．           C．             D．

答案：D

解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题意 

，∴.

2．若函数为偶函数，则a=（  C  ）

A．          B．          C．             D．

答案：C

解析：本小题主要考查函数的奇偶性。

3．圆与直线没有公共点的充要条件是（  B  ）

A．                                  B．

C．            D．

答案：B

解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆与直线

没有公共点

4．已知，，，，则（ C ）

A．             B．              C．              D．

答案：C

解析：本小题主要考查对数的运算。

由知其为减函数,

5．已知四边形的三个顶点，，，且，

则顶点的坐标为（  A  ）     

A．           B．        C．              D．

答案：A

解析：本小题主要考查平面向量的基本知识。

      且，

6．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线

倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（  A  ）

A．             B．            C．                     D．

答案：A

解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点的横坐标

为, 且（为点P处切线的倾斜角），又∵，

∴，∴

7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，

则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（  C  ）

A．           B．           C．           D．

答案：C

解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和

为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之

和为奇数的概率

8．将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（  A  ）

A．         B．            C．         D．

答案：A

解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数

的图象得到函数的图象，需将函数的图象向左平移1个

单位，向下平移1个单位；故

9．已知变量满足约束条件则的最大值为（  B  ）

A．            B．            C．             D．

答案：B

解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点为

      验证知在点时取得最大值2.

10．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中

安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序

只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（  B  ）

A．24种              B．36种        C．48种        D．72种

答案：B

解析：本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有种；∴则不同的安排方案共有

种。

11．已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，

则（  D  ）

A．1             B．2              C．3              D．4

答案：D

解析：本小题主要考查双曲线的知识。取

顶点,一条渐近线为

12．在正方体中，分别为棱，的中点，

则在空间中与三条直线，，都相交的直线（  D  ）

A．不存在            B．有且只有两条        C．有且只有三条        D．有无数条

答案：D

解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生

的空间想象能力。在EF上任意取一点M,直线与M

确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N, 当

M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的

交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图：

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

13．函数的反函数是           ．

答案：

解析：本小题主要考查反函数问题。

      所以反函数是

14．在体积为的球的表面上有A、B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的

球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．

答案：      

解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为,则

,∴设、两点对球心张角为，则

,∴,∴,∴为所在平

面的小圆的直径，∴,设所在平面的小圆圆心为，

则球心到平面ABC的距离为

15．展开式中的常数项为        ．

答案：35

解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。考查的通项公式,

      所以展开式中的常数项共有两种来源:

      ①②

      相加得15+20=35.

16．设，则函数的最小值为           ．

答案：

解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。

      取的左半圆,作图(略)易知

17．（本小题满分12分）

在中，内角对边的边长分别是，已知，．

（Ⅰ）若的面积等于，求；

（Ⅱ）若，求的面积．

本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由余弦定理得，，

又因为的面积等于，所以，得．???????????????????????????? 4分

联立方程组解得，．?????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为，?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

联立方程组解得，．

所以的面积．?????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果

如下表所示：

周销售量

2

3

4

频数

20

50

30

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求

（?）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；

（?）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．

本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分．

解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．?????????????????????????? 4分

（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，

故所求的概率为

    （?）．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

    （?）．??????????????????????????????????????????????????????? 12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，

并求出这个值；

（Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值．

本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，

考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．

解法一：

（Ⅰ）证明：在正方体中，，，

又由已知可得，，，

所以，，所以平面．

所以平面和平面互相垂直．?????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

，是定值．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：设交于点，连结，

所以为与平面所成的角．

因为，所以分别为

，，，的中点．

可知，．

所以．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

解法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间

直角坐标系D－xyz．由已知得，故

，，，

，，．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得

，

，

．

因为，所以是平面PQEF的法向量．

因为，所以是平面PQGH的法向量．

因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．…4分

（Ⅱ）证明：因为，所以，又，

所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．

在所建立的坐标系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．???????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．

由为中点可知，分别为，，的中点．

所以，，因此与平面所成角的正弦值等于

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．（本小题满分12分）

在数列，是各项均为正数的等比数列，设．

（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；

（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，

求数列的前项和．

本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，

考查综合运用数学知识解决问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）是等比数列．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

证明：设的公比为，的公比为，则

，故为等比数列．?????????????????????????????????? 5分

（Ⅱ）数列和分别是公差为和的等差数列．

由条件得，即

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

故对，，…，

．于是

将代入得，，．???????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

从而有．所以数列的前项和为

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，

设点P的轨迹为．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？

此时的值是多少？

本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，

考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，

长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）设，其坐标满足

消去y并整理得，

故．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

，即．而，

于是．

所以时，，故．???????????????????????????????????????????????????????? 8分

当时，，．

，

而，

所以．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．（本小题满分14分）

设函数在，处取得极值，

且．

（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，

考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．满分14分

解：．①???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（Ⅰ）当时，；

由题意知为方程的两根，所以．

由，得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

从而，．

当时，；当时，．

故在单调递减，在，单调递增．???????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，

所以．从而，

由上式及题设知．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

考虑，．?????????????????????????????????? 10分

故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．

又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．所以，即的取值范围为．    14分