[文件]  sxglija0030.doc

[科目]  数学

[年级]  高中

[章节] 

[关键词]  锥体/体积

[标题]  锥体的体积

[内容]

锥体的体积

北京陈经纶中学  丁益祥

教学目标

1.使学生掌握锥体的体积公式及其初步应用；

2.通过三棱锥体积公式的探求，教学生学习观察、类比、归纳、猜想等合理推理方法，培养

学生分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力；

3.通过三棱锥体积公式的探求，培养学生独立思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力及勇于探索

创新的精神等良好的个性品质.

教学重点和难点

三棱锥体积公式及其探求.

教学设计过程

师:前几节课我们先后学习了祖■原理和柱体的体积公式，在开始讲本章知识下久，我们还

学习了锥体平行于底面的截面的性质.现在请同学们分别回忆一下上述三个知识内容，谁来

回答锥体平行于底面的截面的性质是什么?

生1:如果棱锥(或圆锥)被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的

比等于截得的棱锥(或圆锥)的高和原棱锥(或圆锥)高的平方比.

师:很好!下面谁来回答祖■原理是如何叙述的?

生2:夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得

的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

师:回答正确.请同学们一起回答:柱体的体积公式是怎么表示的?

生:柱体的体积等于它的底面积乘以高，即V柱体=Sh.

师:当这个柱体是圆柱时，其体积还有别的表达形式吗?

生3:V圆柱=πr2h,其中r是底面半径，h是圆柱的高.

师:不错.谁能说说底面积是S，高是h的柱体体积公式的探求思路吗?

生4:我们构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体，把它与所给柱体的下底面放在同一

个平面α上.由于它们上、下底面平行，且等高，故它们的上底面必在与α平行的同一个平

面β内，现在用平行于α的任意平面去截它们时，由于所得的截面都与它们的底面分别平行

，因此截面积都等于S.由祖■原理知，它们的体积相等，而V长方体=Sh，所以V柱体=Sh.

师:很好!生4利用祖■原理获得了等底面积等高的柱体与长方体(两个柱体)等体积，那么等

底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢?(师边问边板书“等底面积等高的两个锥体

的体积之间的关系”一语)

生:相等.

师:你们怎么知道它们的体积是相等的.

生:猜想的.(也有的说是估计的)

师:猜想也好，估计也罢，都是有风险的，尽管如此，但它常常是“发现”的先导.能证实

你们的猜想吗?

生5:用祖■原理.设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个圆锥，并设它们的底面

积都是S，高都是h(如图1).①把这两个锥体的底面放在同一个平面α上，由于它们的高相

等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，

β之间；②用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S₁，S₂，截面和

顶点的距离是h₁,体积分别为V₁，V₂，则由锥体平行于底面的截面性质知:

所以=，   故S₁=S₂.

由祖■原理知:V₁=V₂.

(生叙述师板书)

师:完全正确!我们再请一位同学用命题的形式完整地叙述一下上述问题的条件和结论.

生6:如果两个锥体的底面积相等，高也相等，那么它们的体积相等.

师:同学们对生6的概括有不同意见吗?

生:没有!

师:生6的概括是正确的，但我们可以叙述得更简练一些.

生6:对了，可以叙述为:等底面积等高的两个锥体的体积相等.

师:很好!这个命题是课本中第100页的定理.(师随即把前面板书的“等底面积等高的两个

锥体体积之间的关系”一语中的“之间的关系”五字擦掉，补上“相等”二字，同时在前面

添上“定理”二字)我们干脆请生6再重申一下:定理有哪几个条件?结论是什么?

生6:条件有两个:一个是两个锥体的底面积相等，另一个是这两个锥体的高相等.结论是体

积相等.

(由学生提出问题、分析问题并解决问题，这是对学生最高层次的要求.当学生达不到这个

层次时，可由老师提出问题，学生分析问题和解决问题.老师提出问题后要给学生观察、比

较、分析、归纳、猜想、发现的时间.著名数学教育家波利亚曾指出:只要数学的学习过程

稍能反映出数学发明的过程，那么就应当让猜想、合理推理占有适当的位置.猜想后还要严

格地证明，合情推理与逻辑推理并重，既教证明又教猜想，这才是解决问题的完整过程.)

师:上述定理只是回答了具有等底面积等高的两个锥体的体积之间的相等关系，但这个体积

如何求出，能否像柱体那样有一个体积公式仍然是一个谜.然而它却给我们求锥体体积一个

有益的启示:只须找到一个“简单”的锥体作为代表，如果这个代表的体积求出来了，那么

，由上述定理即可获得其它锥体的体积了.请同学们思考用怎样的“简单”锥体作代表来研

究呢?

生:三棱锥!(一小部分同学有些疑惑)

师:能说说你们的想法吗?

生7:因为我们较熟悉棱锥，而在棱锥中，三棱锥底面多边形的边数量少，似乎要更“简单

”些.

师:有道理!我们选出的“代表”当然应该首先是我们熟悉的，由于三角形是最简单的多边

形，类比地，我们有理由这样说，三棱锥是较“简单”的棱锥.那么，怎样研究三棱锥的体

积呢?(板书:三棱锥的体积，并作出一个底面积为S的，高为h的三棱锥A′-ABC，如图2)

生:……(思维受阻)

师:(启发一下)请同学们回忆一下求如下两个图形(图3)面积的方法:

生8:对(1)可将它分成一个半圆和一个正方形，分别计算出它们的面积，再相加即可；对(2

)，可将三角形先补成一个平行四边形，然后求出平行四边形的面积，再除以2即得三角形

面积.

(在生8叙述时，师图示如下)

师:先割后补与先补后割是处理几何问题时常用的方法，即我们常说的割补法.类比地，能

否将这一思维方式迁移到探求三棱锥的体积上来呢?

生:(几乎异口同声地)能!

师:那么是采用先割后补，还是先补后割呢?邻近的同学可以相互讨论一下.

(学生之间小声讨论，选择这两种方法的学生都有)

师:我们请一位同学说说自己选择的方法及其理由，谁来说?生9想好了吗?

生9:我认为先补后割比较好，至于先割后补，我觉得不行.

师:能说说否定先割后补的理由吗?

生9:……(似有难色)

师:谁能试着割一下?

生10:对一个三棱锥进行分割，实际上是用一个平面去截它.无论怎么截，得到的要么仍是

三棱锥，要么是比三棱锥更为复杂的几何体.所以对三棱锥再分割是不合适的.

师:其他同学以为如何?

生:生10的解释是对的.

师:既然如此，我们可否定先割后补，而肯定先补后割，刚才生9就是这个意见，现在也是

大家的意见了，那么，补成怎样的几何体较合适呢?

生:补成三棱柱.

师:谁能具体说说?

生11:把三棱锥A′-ABC以底面ΔABC为底面，AA′为侧棱补成一个三棱柱ABC-A′B′C′

.

师:请你在黑板上具体补出来.

生11:(上黑板补画图形如图5)

师:生11完成了补形的任务，下面该进行什么工作了?

生:分割.

师:如何分割.

生:分割成三个三棱锥.

师:请生12上来具体分割一下.

(生12上黑板分割三棱柱ABC-A′B′C得三棱锥1，2，3.如图6)

师:很好!生12的图形画得很规范.现在请同学们预测一下分割而得的三个三棱锥之间有何

关系?

生:体积相等.

师:能简要地说明你们预测的依据吗?

生13:我没有证明，但我想它们的体积应该相等，这是因为刚才回忆求三角形面积时，将三

角形补成一个平行四边形(平面图形)后再分割成的两个三角形等面积.类比地，我们将三棱

锥补成一个三棱柱(空间图形)后再分割成三个三棱锥当然应该体积相等.

师:生13由平面图形的处理结果类比地预测空间图形的相应结果不无道理.同学们的预测实

际上也是我们的希望.而怎样使我们的希望、预测变为现实，还需要严格证明，那么怎样证

明这三个三棱锥1，2，3等体积呢?

(引导学生思考两个锥体等体积的依据――前面定理的条件:(1)等底面积，(2)等高)

生14:(生14叙述，师板书)在三棱锥1，2中，S_ΔABA′=S_ΔB′A′B，又由于它们有相同顶

点C，故高也相等，所以V₁=V₂.又在三棱锥2，3中，S_ΔBCB′=S_ΔB′C′C，它们有相同顶

点A′，故高也相等.所以V₂=V₃，所以V₁=V₂=V₃.

生15:在证得V₁=V₂后，再证明V₁=V₃也很方便.

(生15叙述，师板书)

因为在三棱锥1，3中，S_ΔABC=S_{ΔA′B′C′}，高也相等(都等于三棱锥的高).所以V₁=V₃.

故V₁=V₂=V₃=V_三棱柱.而V_三棱柱=Sh，

所以  V_三棱锥=Sh.

师:非常好!到目前为止，我们已经解决了三棱锥的体积问题，也就是说，解决了一个“锥

体大家庭”中的“代表”的体积问题.那么一般锥体的体积又如何呢?(设一般锥体的底面积

为S，高为h)

生:V_锥体=Sh.(师板书)

师:谁能对这一结果的来源作出解释?

生16:构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积等高的锥体的体积相等，故

V锥体=V三棱锥=1  3Sh.

(教学生学会证明是重要的，让学生对某一问题作出解释也是必要的.它可以使学生从整体

上把握问题的来龙去脉，在某种情况下比只让学生机械的证明要好.它是培养学生语言表达

能力，数学交流能力，培养学生数学素养的一个重要途径.)

师:生16从整体上就一般锥体的体积公式的获得作了简明扼要的解释.我们知道，圆锥是一

类典型的特殊锥体，对于圆锥的体积，有何别的表达式?

生17:V_圆锥=πr2h.(师板书)

师:这里r,h的意义分别是什么?

生17:r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高.

师:至此，我们已获得了锥体的体积公式V_锥体=Sh.对圆锥来说，还可以用底面半径r及

高h来表达体积，即V_圆锥=πr2h.作为应用，请同学们看这样一个问题:

(用投影仪打出)

(由课本第103页练习题1改编)

如图7，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，已知棱长为a，求:

(1)三棱锥B′-ABC的体积；

(2)这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几；

(3)B到平面AB′C的距离?

(若没时间，可留做课后思考，要求用两种方法求解)

(请生18解答(1)，(2)，生19解答(3)，其余同学在座位上完成，师巡视)

(生18板演(1)(2))

(1)因为  正方体棱长为a，所以  S_ΔABC=a，高h=a.

所以V_B′-ABC=SΔABC?h=?a?a=a.

(2)因为  V_正方体=a，

所以V_B′-ABC∶V_正方体=.

(生19板演(3))

解法1:如图8.

过B作BO⊥面AB′C于O，则O必为ΔAB′C的重心.连AO并延长交B′C于M，

因为  AB′=B′C=CA=a,

所以  AM=?a=a,OA=AM=a.

在RtΔAOB中，BO==，

即B到面AB′C的距离为a.

解法二:

设B到面AB′C距离为h,

因为  AB′=B′C=CA=a，

所以  SΔAB′C= (a)=a，

因此  ?a?h=V_B-AB′C= V_B′-ABC =?a?a=a，

故h=a 即B到面AB′C的距离为a.

(师生共同评判)

师:我们让生19说说解法二的思路.

生19:我注意到三棱锥B?AB′C与三棱锥B′?ABC是同一个三棱锥.

所以 ?S_ΔAB-C?h=V_B-AB′C=V_B-ABC，而V_B′-ABC易求，S_ΔAB′C也易求，这样h

即可求出.

师:非常好.生19的方法一是常规方法，而方法二则巧用了三棱锥的体积，使问题的求解变

得十分简捷.这种方法称作顶点转换法，有时也称作等积转换法.事实上三棱锥(即四面体)的

每一个顶点都可作为棱锥的顶点，和它相对的面都可作为相应的底面，这是三棱锥(四面体)

特有的性质.在一定的条件下，它为我们求解顶点到底面的距离提供了捷径，应当引起我们

的注意.

今天这节课我们主要学习了锥体的体积公式，下面请同学们就知识和思维能力两个方面作一

下小结.(请学生自行小结，师生共同补充完善)

1.知识方面:通过本节课学习，我们利用割补法获得了三棱锥的体积公式，进而获得了一般

锥体的体积公式，并初步体会了其应用；

2.思维能力方面:又一次体会了联想、类比、猜测、证明等合情推理及逻辑推理的方法在探

索新知识方面的重要作用.

作业:略.

课堂教学设计说明

1.关于教学目标的制定

在课堂教学中实施和推进素质教育，正愈来愈被广大教师所重视.由于学生的素质是多方面

的，这就决定了课堂教学的目标应该是多元化的.

(1)锥体的体积是多面体和旋转体这一章的重点内容之一，在体积问题中有着重要的地位，

将锥体的体积公式及其初步应用作为本节课的教学目标之一是完全合适的.

(2)学生思维方法的好与差，推理能力的强与弱，在一定程度上反映了学生素质的高与低.

因此，如何通过课堂教学，教学生学习合情推理的方法，培养学生逻辑推理能力，是我们制

定教学目标时必须认真思考的.

(3)未来社会不仅要求人们具有丰富的文化科学知识，而且还需要人们具有顽强的毅力及创

新的意识.教学目标3正是据此而制定的.

2.关于教学重点和难点的确定

本节课的核心内容是锥体的体积，而锥体体积公式的探求需要教师逐步唤醒学生割补思想的

记忆，努力使学生自行发现知识，掌握知识，发展学生的创造性思维，这对教师和学生都是

较高的高求.因而锥体的体积公式及其探求既是教学的重点，又是教学的难点.

3.关于教学过程的设计

本节课按如下五个方面展开:

(1)复习三个问题――①锥体平行于底面的截面的性质；②祖■原理；③柱体的体积公式及

其探求思路；

(2)等底面积等高的两个锥体的体积之间的关系；

(3)三棱锥的体积公式的探求；

(4)一般锥体的体积公式，圆锥的体积公式；

(5)锥体体积公式的简单应用.

有目的地做好旧知识的复习，为顺利地进行新课的讲授奠定了基础.(1)中的三个复习题主

要是为推导“等底面积等高的两个锥体的体积相等”这一定理而准备的.提问时应注意必要

的顺利.

这里，祖■原理在问题③的回答中要应用，因而放在③前面提问.而由问题③的“探求思路

”的回答中，利用祖■原理获得了“等底面积等高的柱体和长方体等体积”的结论，很自然

地让人产生“等底面积等高的锥体体积之间有何关系”的联想.这样，旧课的复习很自然地

过渡到了新课的讲授.因此，把问题③放在最后复习比把问题①放在最后复习要好得多.

“等底面积等高的锥体的体积相等”这一结论是推导三棱锥体积公式的重要工具.由复习题

③中“探求思路”的回忆，引导学生先猜后证，让学生自己发现知识，自行“制造”推导三

棱锥体积公式的“工具”，这是发挥学生主体作用的重要体现.

三棱锥体积公式的探求是本节课的核心内容，如果像教材中那样，直接将三棱锥补成一个三

棱柱，然后将其分割成三个三棱锥，再求体积，那么，虽然教师备课可以少用许多时间，然

而，学生对“怎样想到利用割补法”，“为什么要先补后割”往往疑惑不解.这里，在(3)

中插入两个几何图形面积公式的探求思路的回忆，旨在唤醒学生割补思想的记忆，启发学生

的思维.通过联想类比，学生感悟探求三棱锥体积也用割补法已水到渠成.尔后，围绕“先

割后补”还是“先补后割”的问题，引导学生自己动手一试，相互讨论，比较优劣，从而肯

定“先补后割”，并对“如何补，怎样割”，鼓励学生自己操作.最后，让学生自己推导公

式，这是对学习主体的尊重，这样做旨在为学生扫清这一知识形成过程中的思维障碍，使整

个思维过程和知识形成过程构成一个完美的统一体.显然，这种教学氛围的营造，使学生在

旧知识的温故中，发现了打开新知识宝库大门的钥匙，在探索知识奥秘的征途上，创造性的

迈开了自己坚实的一步.学生表现出了极强的思维积极性和探索毅力，创新意识，创造能力

和创造精神得到了培养.

由三棱锥体积公式的探求到一般锥体体积公式的获得，再到圆锥体积公式的表达，这是特殊

―一般―特殊的思维过程.经常有意识的进行这样的训练，学生的思维方法、思维能力必将

得到极大的提高.