2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I卷至2页，第II卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
?如果事件互斥，那么 ?球的表面积公式
球的体积公式
?如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．若等差数列的前5项和，且，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A． B．
C． D．
7．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
11．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人．
12．的二项展开式中的系数为 （用数字作答）．
13．若一个球的体积为，则它的表面积为 ．
14．已知平面向量，，若，则 ．
15．已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 ．
16．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
已知数列中，，，且．
（Ⅰ）设，证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．
21．（本小题满分14分）
设函数，其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
22．（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
11．10 12．10 13． 14．
15． 16．432
（1）设集合，，，则
（A） （B） （C） （D）
解析：因为，所以，选A．
（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
解析：如图，由图象可知目标函数过点时取得最大值，，选D．
（3）函数（）的反函数是
（A）（） （B）（）
（C）（） （D）（）
解析：当时，，解得，选A．
（4）若等差数列的前5项和，且，则
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
解析：，所以，选B．
（5）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是
（A） （B）
（C） （D）
解析：选C，A、B、D的反例如图．
（6）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
（A）， （B），
（C）， （D），
解析：选C,
．
（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为
（A） （B） （C） （D）
解析：抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B．
（8）已知函数，则不等式的解集是
（A） （B） （C） （D）
解析：依题意得，选A．
（9）设，，，则
（A） （B） （C） （D）
解析：，因为，所以，选D．
（10）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为
（A） （B） （C） （D）
解析：易得，在上单调递减，所以，故，选B．
（11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．
解析：依题意知抽取超过45岁的职工为．
（12）的二项展开式中，的系数是________________（用数字作答）．
解析：，，所以系数为10．
（13）若一个球的体积为，则它的表面积为________________．
解析：由得，所以．
（14）已知平面向量，．若，则_____________．
解析：因为，所以．
（15）已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_______________________．
解析：圆心的坐标为，所以，圆的方程为．
（16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．
解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2．
所以共有种不同排法．
三、解答题
17．本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：
．
由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，．
当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为．
18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得
，
解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．
解法二：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得
，
于是或（舍去），故．
所以乙投球的命中率为．
（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率为．
解法二：由题设和（Ⅰ）知，，．
故甲投球2次至少命中1次的概率为．
（Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，，，，．
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为
，
，
．
所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为
．
19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．
（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．
在中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，
故．
所以异面直线与所成的角的大小为．
（Ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结．
因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．
由题设可得，
，，
，，
．
于是在中，．
所以二面角的大小为．
20．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设，得
，
即
．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
，
，
……
．
将以上各式相加，得．所以当时，
上式对显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得
， ①
整理得，解得或（舍去）．于是
．
另一方面，
，
．
由①可得
．
所以对任意的，是与的等差中项．
21．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：．
当时，
．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：
ㄋ
极小值
ㄊ
极大值
ㄋ
极小值
ㄊ
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．
解此不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（Ⅲ）解：由条件可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当
即
在上恒成立．
所以，因此满足条件的的取值范围是．
22．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得
解得
所以双曲线的方程为．
（Ⅱ）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得
．
此方程有两个不等实根，于是，且
．整理得
． ③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足
，．
从而线段的垂直平分线的方程为
．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得
．
整理得
，．
将上式代入③式得，
整理得
，．
解得或．
所以的取值范围是．
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