高考数学专题―数学思想方法

数形结合法

数与形的结合，使抽象思维与形象思维结合起来，实现概念与形象、表象与联系的转化，化难为易，是数学解题的重要思想方法之一。进行数形结合的信息转换主要有三个途径：一是通过坐标系的建立，引 入参变量，化静为动，以动求解；例如：解不等式：，

可设，则平面上轨迹双曲线上坐标的取值范围即为原不等式的解；二是转化，例如将转化为点与的距离；将转化为点与的直线斜率；三是构造，即可构造几何模型、构造函数或构造一个图形，例如求的值，可以构造一个顶角为的等腰三角形，利用相似形性质算出。

第一讲

[要求与考点]  理解和掌握数形结合法在函数、方程、最值中的应用。

例1、       函数的最大、最小值。

分析：可以看成是点与点两点

连线的斜率。在圆上，斜率的最大、最小

值由过点的圆的两条切线所决定。如图

解：设的斜率为，则为：

即。

∵点到的距离，

故

解得：

即

说明：凡形如的代数式，一般都可看作点和点的连线的斜率，本题也可以用万能公式代换后，利用判别式求解，但运较繁。用判别式法须注变量范围的变化。

例2、求函数的值域。

分析：原函数在令后可以化为的范围可看着是当直线与四分之一圆有交点时，直线在纵轴上的截距的范围，如图。

[分析]原函数在令后可化为

，的范围可

看作是当直线与四分之一圆

有交点时，直线在纵轴上的截

距的范围，如图；

解：令，原函数变为

∴

引入变量，得：

∵ 直线的斜率为，过四分之一圆上点时，

截距，直线与四分之一圆相切时，，

∴ 截距

∴

说明：仿照本例可解决形如或的函数的值域问题。

本例也可在写成后，把点看成是既在直线上，又在圆上，联立方程组即可求得的取值

范围。

例3、已知函数在上有最小值1，求实数的值；

[分析]函数是关于的二次函数，对称轴是，应就其对称轴是否在上加以讨论。

解：∵是以为对称轴，开口向上的抛物线；

当时，在上的最小值是，如图1，解得：

当时，的最小值是，如图2，解得

当时，应是如图3 , 在上的最小值是，但此方程无解，∴这种情况不存在。

             图1                        图2                    图3

例4、方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.

[分析]  原方程的解可以看作函数

与函数的图象交点的横坐标.函数

的图象由 

(半圆)和 (等轴双曲线

在轴上半部份)的图象构成,如图可知:

当或,时,此二函数的

图象有两个交点,即原方程有两个不相等的实数根.

例5、设是以为直径的单位圆上半圆周上的任意一点，于求的最大值；

[分析] 以圆心为原点，直径所在直线为轴

建立坐标系，如图；则半圆方程为：

，设点坐标为，，

则

所以，

令 ，则 ，且，

∴

∴当时，有最大值 

法2、如图，设，，

∵ 为直径，∴，且，

∴ ，，，

所以

（以下求解同法一）

练      习

1、已知实数满足，则

（1）的取值范围是                 ；

（2）的取值范围是                 ；

（3）的取值范围是                 ；

2、函数的最大值是                 ；

3、抛物线弦垂直于轴，若弦长为，则焦点到弦的距离为       ；

4、如果实数满足求的最大最小值；

5、求函数的值域；

6、为何实数时，方程有且仅有一个实根；

数形结合法    第二讲

[要求与考点] 理解和掌握数形结合法在解不等式，不等式的证明、集合，复数等问题中的应用。

例1、       解不等式，

[分析] 由于不等式中含参数和绝对值，对解的讨论将十分困难，若用数形结合法可较易地解决这一问题。

解：令   

当时，两曲线

交于四点，如图1

它们的横坐标分别为，                             图1

故解集为

当时，两曲线交于三点，如图2，

故解集为

当时，，两曲线交于两点，如图3

故解集为

                  图2                                         图3

例2、已知，且，，求证：

[分析]不等式的左端可看着点和点

间的距离间的平方，点在直线

上，点在直线上，如图，

显然，平行直线上任意两点的距离大于或等于

这两平行线间的距离

说明：凡形如的等式皆可视为点在直线上，若则可用基本不等式证明即；

例3、已知，求证：

[分析]  与余弦定理很相似，可视为，即三角形中夹角的第三边长，原不等式的左端可看作是图中周长，由正弦定理有：

中，                                                     C

∴，  A                    B

同样可以得另外两式，三式相加即可。

   说明：还可以看作，它表示两点，

间的距离，也可以看成复数的模；本题用复数法证明更为简捷。

例4、已知，，求证：

[分析]原不等式左端与距离公式的平方很相似，变化为，相当于证明点与点间的距离平方大于8，显然点在圆上，点在等轴双曲线上，如图

证明：设是上任意一点，

当且仅当时，到原点取最近距离，

∴在直线上，直线交圆于点，

为两曲线

间最近距离，故有，原式成立；

例5、已知，且，求当为何值时，有最大值；

[分析] 设复数所对应的点为，

的

几何意义是点到和

连线的夹角；的

几何意义是到两点、

距离相等的点的轨迹，即直线.

问题转化为在上求一点，使它与

和连线的夹角最大，如图，

过、和相切的较小圆的切点即为所求；

略解：、两点的垂直平分线方程为，

设圆心为，则，解得：

，，其较小圆的圆心为，半径为 ；

设切点的坐标为，∵ 得：

故切点为，所求复数为。

说明：本题充分利用了图形的几何性质，避免了复杂的计算。

[本节评注] 数形结合法思想在解题中的应用关键是：一要多类比，多联想，将代数式通过转化、变形，赋予它鲜明的几何意义；二要挖掘已有图形的几何性质，利用其性质尽量简化运算或论证。

作  业

1、复数满足，则的辐角主值的取值范围是                      ；

2、解不等式；

3、已知，求复数为何值时，

（1）取最大值？最小值？

（2）取最大值？最小值？

4、已知均大于零，且，

求证：