山东省兖州市高补学校2009届高三模拟试卷
数学（文科）试题
一、选择题（共12题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分）
1．定义集合运算：
设集合
，
，则集合
的所有元素之和为（ ）
A．1
B．
2．复数
，则
的值为（ ）
A．0
B．－
3．设集合
，那么“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛
得分的径叶图如图，则以下说法正确的
是（ ）
A．甲总体得分比乙好，且甲比乙稳定；
B．甲总体得分比乙好，但乙比甲稳定；
C．乙总体得分比甲好，且乙比甲 稳定；
D． 乙总体得分比甲好，但甲比乙稳定。
 |
6．已知椭圆
，
是其右焦点，过作椭圆的弦
，设
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．定义两种运算：
，则函数
为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数且为偶函数 D．非奇函数且非偶函数
8．已知向
，若
，则
与
的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
9．右图是计算1＋2＋3＋…＋100的一个程序框图，则条件框内是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若过点
的直线
与曲线
有公共点，则
直线斜率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当
时，
其离心率为
，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金
椭圆”，可推算出“黄金双典线”的离心率
等于（ ）
A．
B． C．
D．
12．已知
且
，
，当
时均有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共4题，每题4分，共16分）
13．在平面直角坐标系
中，设
是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于4的点构成的区域
是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，
则落入中的概率为____________________
14．若且，函数
与
的图象有两个交点，则的取值范围是___.
15．如果实数，b满足条件：
则
的最小值是________________。
16．下列四个命题：
①圆
与直线
相交，所得弦长为2；
②直线
与圆
恒有公共点；
③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
；
④若棱长为
的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为
。
其中，正确命题的序号为________________（写出所有正确命题的序号）。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系下，已知
，
，
，
。
（Ⅰ）求
的表达式；
（Ⅱ）求的最小正周期和值域。
18．（本小题满分12分）
已知函数
。
（1）若从集合
中任取一个元素，
从集合
中任取一个元素，
求方程
有两个不相等实根的概率；
（2）若从区间
中任取一个数，从区间
中任取一个数，求方程 没有实根的概率。
19．（本小题满分12分）
如图1所示，正△ABC的边长为
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥C－DEF的体积。
 |
20．（本小题满分12分）
已知数列
的前
项和
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和。
21．本小题满分12分）
已知动点
到双曲线
的两个焦点
的距离之和为定值
，
且
的最小值为
。
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若已知点
、在动点的轨迹上，且
，
求实数
的取值范围。
22．（本小题满分14分）
已知函数
。
（Ⅰ）求的值域；
（Ⅱ）设
，函数
。若对任意
，总存在
，使
，求实数的取值范围。
一、1―12 BABCA BACAD AC
二、13．
14．
15．1 16．②④
三、解答题
17．解：（Ⅰ）依题意得
（2分）
∴
（4分）
（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，所以
的最小正周期为
（7分）
∵
， ∴
（8分）
∴
（10分）
∴
（11分）
所以函数的值域是
（12分）
18．解：（1）a取集合｛0，1，2，3｝中任一元素，b取集合｛0，1，2｝中任一元素
∴a、b的取值 情况有（0，0），（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0），
（2，1），（2，2），（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，基本事件总数为12.
设“方程
有两个不相等的实根”为事件A，
当
时方程有两个不相等实根的充要条件为
当时，
的取值有（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（3，2）
即A包含的基本事件数为6.
∴方程有两个不相等的实根的概率
（6分）
（2）∵a从区间［0，2］中任取一个数，b从区间［0，3］中任取一个数
则试验的全部结果构成区域
这是一个矩形区域，其面积
设“方程没有实根”为事件B
则事件B构成的区域为
即图中阴影部分的梯形，其面积
由几何概型的概率计算公式可得方程没有实根的概率
（12分）
19．解：（1）判断：
平面
（2分）
证明：
因在
中，
，
分别
是
的中点，有
（4分）
又因
平面，
平面 （5分）
所以
平面 （6分）
（2）过点作
于点
，面
面
，面
面
，而
面
，故
平面，
于是
是三棱锥
的高
（8分）
又
的面积为
（10分）
故三棱锥
的体积为
（12分）
20．解：（1）
时，
，∴
；
（2分）
当
时，
，∴
（4分）
∴通项公式
（6分）
，
（8分）
即
所以
（12分）
21．解：（1）因为、
为椭圆
的上、下焦点，所以
，设
。
所以
因为
所以
，整理可得
所以求动点
的轨迹
的方程为
（4分）
（2）（法一）设过点
所作曲线的切线斜率为
，则切线方程
由 
可得： 
，所以
或
（6分）
过点所作曲线的切线方程为
和
由 
和 
可分别解得：
和
所以直线
的方程的方程为：
（8分）
（法二）设过点所作曲线的两切线的切点为
，
则 
记
则
，
则两条切线的方程为
即：
和
即：
因为两条切线均经过点，所以
且
所以，直线的方程的方程为：
（3）若
存在，不防设其坐标为
，过点所作曲线的切线斜率为，则切线方程为
，即
由
可得：
因为直线和抛物线相切，所以
（10分）
设两条切线的斜率分别为
，则
因为
所以
所以 两条切线垂直 所以
所以
所以 在直线
上是存在点
满足题意。
（12分）
22．解：（1）由题设得
，
∵
，则 ∴
，
所以
（2分）
所以
对于任意实数
恒成立
∴ 
故
（3分）
（2）由
，求导数得
，
在
上恒单调，只需
或
在 上恒成立，即
或
恒成立，所以
或 
在上恒成立
（6分）
记
，可知：
，
∴ 
或
（8分）
（3）令
，则
令
，则
，列表如下：
－1
（－1，0）
0
（0，1）
1
＋
0
―
0
＋
0
―
递增
极大值
递减
极小值1
递增
极大值
递减
∴
时，无零点；
或
时，有两个零点；
时有三个零点；
时，有四个零点
（14分）
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