13．观察下列式子：……，则可以猜想：当时，有___________________。

14．已知二项式的展开式中项的系数与的展开式中项的系数相等，则_________。

15．在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为_____________。

16．某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论：

①等式在时恒成立； ②函数的值域为

③若则一定有；   ④函数在上有三个零点。

其中正确结论的序号有_______________（请将你认为正确的结论的序号都填上）

17．（本小题满分12分）

    中，角、、所对的边分别为、、 且

（1）求角的大小；

（2）若向量，向量，求的值。

18．（本小题满分12分）

有编号为1，2，3，…，的个学生，入坐编号为1，2，3，…的个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知时，共有6种坐法。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求随机变量的概率分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，在长方体

中点

在棱上移动，小蚂蚁从点沿长方体的表

面爬到点，所爬的最短路程为。

（1）求证：

（2）求的长度：

（3）在线段上是否存在点，使得三面角的大小为。若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分12分）

数列的各项均为正数，前项和为，对于，总有成等比数列，且

（1）求数列的通项公式：

（2）对任意给定的正整数，作数列，使，且…，求…的值；

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的上、下焦点分别为、，点为坐标平面内的动点，满足

（1）求动点的轨迹的方程：

（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为、，求直线的方程：

（3）在直线上否存在点，过该点作曲线的两条切线，切点分别为、，使得，若存，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由。

22．（本小题满分11分）

已知函数，且对于任意实数，恒有

（1）求函数的解析式；

（2）已知函数在区间上单调，求实数的取值范围；

（3）函数有几个零点？

数学试卷（理科）

1―5：B D B B C     6―10：D C A D A      11―12：D D

13．     14．     15．    16．①②③

17．解：（1）∵

∴………………………………2分

∴，∴或

∵，∴………………………………………………………………4分

（2）∵ ∴，即

又 ∴，即②…………6分

由①②可得 ∴ ……………………………………………8分

又，∴…………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）∵当时，有种坐法  ………………………………………………2分

∴，即

或（舍去）   ∴…………………………………4分

（Ⅱ）∵ 的可能取值是0，2，3，4，

又∵

……………………………………8分

∴的概率分布为：

0

2

3

4

                                                               ……………10分

则。      …………………………………12分

19．解：（1）证明：连结，由长方体的性质可知：平面，∴是在平面内的射影。又∵

∴

∴（三垂线定理）………………4分

（2）设，∵四边形是正方形，

∴小蚂蚁从点沿长方体的表面爬到点可能

有两种途径，如图甲的最短路程为

如图乙的最短路?为

∵

∴

∴  ∴…………9分

（3）假设存在，平面的法向量

设平面的法向量 则

∴………………………………………………………………………10分

由题意得：

解得：或（舍去）

即当点离为时，三面角的大小为。   …………………12分

20．解：（1）由知，

所以又，所以，

若为奇数，由得。

若为偶数，则由得，所以。

综上所述，     ………………………………………………………4分

（2）由于……，，

将以上各式左右两边分别对应相乘得到：

（2）设的前项和为，当时， ∴；（8分）

时，，∴          （10分）

∴

∴                                                    （12分）

21．解：（1）由题意知，设。由余弦定理得

                     （2分）

又                                  （4分）

当且仅当时，取最大值，此时取最小值

令，∵，∴。

故所求点的轨迹方程为                                    （6分）

（2）设 则由可得，

故                                             （8分）

∵、在动点的轨迹上，故且消去得

，解得，又，

∴，得解。故的取值范围是。          （12分）

22．解：（Ⅰ），令，得或。       （2分）

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，

而，∴当时，的值域是。 （4分）

（Ⅱ）设函数在上的值域是A，

∵若对任意,总存在，使，∴（6分）

.

①当时，，

∴函数在上单调递减，

∵ ∴当时，不满足；   （8分）

②当时，，

令，得或（舍去）。                            （9分）

（Ⅰ）当时，的变化如下表：

0

2

－

0

＋

0

∴， ∵，

∴，解得。                              （11分）

（Ⅱ）当时，

∴函数在（0，2）上单调递减，

∵

∴当时，不满足.                                   （13分）

综上可知，实数的取值 范围是.                                （14分）