2009年4月辽师大附中高三数学模拟试题(文)
一、选择题:本大题共12小题:每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A = {x | x 2 + 2ax + 1 = 0} 的真子集只有一个,则 a 值的集合是( )
A.(-1,1) B. (-¥,-1]∪[1,+¥) C. {-1,1} D.{0}
2.函数的反函数是( )
A. B. C.
3.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
4.设,“”是“曲线为椭圆”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
5.曲线在原点处的切线方程为( )
A.y = 1275x B.y = 502x C.y = 100x D.y = 50!x
6.给出平面区域如图所示,若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个,则的值为( )
A. B.
C. D.
7.已知双曲线的离心率e=2,且与椭圆有相同的焦点,该双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
8.已知ΔABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足,则点P与ΔABC的关系是: ( )
A、P在ΔABC内部 B、P在ΔABC外部
C、P在直线AB上 D、P在ΔABC的AC边的一个三等分点上
9.在线段[0,1]上任意投三个点,问由0至三点的三线段,能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。( )
A.一样大 B.能够成三角形概率大 C.不能够成三角形概率大 D.无法比较
10.如图(1),正三棱台的上、下底面积之比为1:9,过作平行于侧面 的截面,将棱台分成两个多面体,
则这两部分体积之比等于( )
A. B. C. D.
图(1)
11.若关于的不等式组的解集不是空集,则实数的取值不可能是( )
A. B. C. D.
12.函数的图象为C,且有反函数,则将C( )
A.向右向下各平移一个单位长度
B.向右向上各平移一个单位长度
C.向左向下各平移一个单位长度
D.向左向上各平移一个单位长度
后,再作关于直线y=x对称的图象,即为函数的图象。
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在题中的横线上。
13.如图(2),该程序运行后输出的结果为 .
图(2)
14. 对于,若,则函数
的最小值为__________.
15. 23.观察:,
写出一个与以上规律相同的等式:_______________
16. 向图中所示的正方形随机投掷飞镖,则飞镖落在阴影部分的概率为 。
三、解答题:本大题共6道大题,19---23题每题12分,24题14
17.△ABC的三边为a,b,c,已知,且 ,求的值及三角形面积的最大值.
18.已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,
∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且
(Ⅰ)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(Ⅱ)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD? (14分)
19.如图所示是某班学生一次数学考试成绩的频率分布直方图,
其中纵轴表示学生数,观察图形,回答下列问题:
(1)全班有多少学生; (2)此次考试平均成绩大概是多少;
(3)不及格的人数有多少?占全班多大比例?
(4)如果80分以上的成绩为优良, 那么这个班的优良率为多少?
学生数
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
29 39 49 59 69 79 89 99 成绩
20.已知函数
(1)若在上是减函数,求的最大值;
(2)若的单调递减区间是,求函数y=图像过点的切线与两坐标轴围成图形的面积。
。
21. 已知数列满足且对一切有+……,
(1)求证:对一切有
(2)求数列的通项公式
(3)求证:……
22. 已知椭圆E:(a>b>0),以F1(-c,0)为圆心,以a-c为半径作圆F1,过点B2(0,b)作圆F1的两条切线,设切点为M、N.
(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0,-b)时,求此椭圆的离心率;
(2)若直线MN的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4(-1),求此时的椭圆方程;
(3)是否存在椭圆E,使得直线MN的斜率k在区间(-)内取值?若存在,求出椭圆E的离心率e的取值范围;若不存在,请说明理由.
参 考 答 案
第Ⅰ卷
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
B
D
B
C
D
A
B
C
D
二、填空题:每小题4分,共16分。
13.63 14.
15.
16.
三、17.本题满分12分
解: ,又由余弦定理得
.,,得,.又,.
当且仅当时,等号成立..
18.本题满分12分
证明:(Ⅰ)∵AB⊥平面BCD, ∴AB⊥CD,
∵CD⊥BC且AB∩BC=B, ∴CD⊥平面ABC. 2分
又
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC. 8分
∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
∴ 10分
由AB2=AE?AC 得 12分
故当时,平面BEF⊥平面ACD.
19. 本题满分12分
解:(1)1+2+3+6+8+10+14=44
(2)
(3)不及格的人数有6人,占全班比例是
(4)优良率是
20. 本题满分12分
解析:解:(1)=,由题意可知,
在(0,1)上恒有
则且,得,
所以a的最大值为 -1
(2)的单调递减区间是,
==0的两个根为 和1,
可求得a= -1,
① 若(1,1)不是切点,则设切线的切点为,,
则有
, 解得(舍),,,k= -1
② 若(1,1)是切点,则k=
综上,切线方程为y=1,x+y-2=0
这两条切线方程与两坐标轴围成的图形为直角梯形
它的面积S=…………………………………………………
21. 本题满分12分
解:(1)由+…… 得+……+
相减得:?
(2)由(1)知 得(≥2)
又时,由
为等差数列且=
(3)
22. 解:(1)圆F1的方程是(x+c)2+y2=(a-c)2,因为B
∴a2+b2
∴
(2)由(1)知,MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,由已知-=-1.
∴b=c,而原点到MN的距离为d==|
∴a=4,b2=c2=8,所求椭圆方程是;
(3)假设这样的椭圆存在,由(2)则有-<-<-,
∴<<,∴<<,∴<<.故得2<<3,
∴3<<4,求得<e<,即当离心率取值范围是(,)时,直线MN的斜率可以在区间?(,-)内取值.
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