山西省太原五中2008―2009学年度第二学期月考试题(5月)高三数学(理) 第Ⅰ卷——青夏教育精英家教网——

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试题

山西省太原五中2008―2009学年度第二学期月考试题(5月)

高三数学(理)

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设为虚数单位，则的展开式中第三项为（）

A． B． C． D．

2. 已知集合，，，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

3. “”是“直线和直线互相垂直”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

４. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）

A． B． C．2 D．４

5. 对于不重合的两个平面与，给定下列条件

①存在平面，使得、都垂直于；

②存在平面，使得、都平行于；

③存在直线，直线，使得；

④存在异面直线、，使得，，，；其中可以判定与平行的条件有( )

A．１个 B．２个 C．３个 D．４个

6. 从集合中任取３个不同的数排成数列，则这个数列为等差数列的概率为（　　　）

A． B． C． D．

7. 若，则与的大小关系是（）

A． B．

C． D．与的取值有关

8. 已知F₁、F₂是椭圆左、右焦点，过F₁的直线与椭圆相交于A、B，且，，则椭圆离心率为（）

A． B． C． D．

9.若直线通过点，则（）

A． B． C． D．

10.已知图甲中的图像对应的函数，则图乙中的图像对应的函数在下列给出的四式中只可能是 ( )

甲乙

A． B． C． D．

11.已知可导函数，则当时，大小关系为（）

A． B． C． D．

12. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2009个数是（）

_A.3955 B.3957 C.3957 D.3961

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填答题卷中相应的横线上．

13. 设随机变量服从正态分布，若，则

14. 已知曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 .

15．已知如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于 _________ ．

16.已知圆，圆，过圆上的点M向圆作切线，为切点，给出下列命题：

①两圆上任意两点间的距离的范围是

②确定时，两圆的公切线有两条

③对于任意存在定直线与两圆都相交

④的范围是

其中正确的命题是。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.（本小题满分10分）已知函数的图象经过点，且当时，的最大值为．

(Ⅰ)求的解析式；

(Ⅱ)是否存在向量，使得将的图象按照向量平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，请求出满足条件的一个；若不存在，请说明理由．

18．（本小题满分10分）已知数列、满足，，且，

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）记数列的前项和为，数列的前项和为，求.

19. （本小题满分10分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3，的三张卡片，从这个盒子中，有放回地先后抽取两张卡片的标号分别为，，记.

(Ⅰ)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

(Ⅱ) 求随机变量的分布列和数学期望。

20. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.

（Ⅰ）试证：CD平面BEF;

（Ⅱ）设PA＝k?AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

22. （本小题满分14分）设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若函数的递增区间为，求的取值范围；

（Ⅲ）若当时（是与无关的常数），恒有，试求的最小值．

一、选择题：（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

A

B

C

D

C

B

C

B

A

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13、 0.1； 14、__（0，1]_； 15、； 16、①④ ；

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. (1)由得：， ……………………………… 2分

即， ……………… 4分

当时，，

　　因为，有，，得

故 …………………………… 7分

(2)∵是奇函数，且将的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位，可以得到的图象，∴是满足条件的一个平移向量．……10分

18. (Ⅰ)，……5分

（Ⅱ），……8分

，……10分

19. (Ⅰ) ，的可能取值为1，2，3

∴ ∴，因此，随机变量的最大值为3

……5分

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，则……6分

，，，……9分

随机变量的分布列（略）

……10分

20．(Ⅰ) 解法一：

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（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF. ………..4分

又PA底面ABCD,CDAD，故知CDPD.在△PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 　　………..7分

（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因

PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角. ………..10分

高考资源网(www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。设AB=a,则在△PAC中，有

BG=PA=ka.

以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.

因S_△CBD=BD?GH=GB?OF.故GH=.

在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a　　　　　　　　　　

而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH== ＝因此tanEHG==………..12分

由k＞0知是锐角，故要使＞，必须＞tan=

解之得，k的取值范围为k＞………..14分

解法二：

（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为

高考资源网(www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。 A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),

F(a,2a,0).

从而=(2a,0,0), =(0,2a,0), 　　　　

?=0,故 .

设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故第（20）

?=0,故.

由此得CD面BEF.

（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.

从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.

由PA＝k?AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),

由?=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a ①

又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即2x+y=2a ②

由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.

tanEHG===.由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即＞故k的取值范围为k＞.

21．解：（1）由

因直线相切，

，

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴

故所求椭圆方程为 …………4分

（2）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：

当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：

由

即两圆相切于点（0，1）

因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）…………8分

事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下．

当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）

若直线L不垂直于x轴，可设直线L：

由

记点、

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）

所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．…………12分

22. 解答：（1），由题意及导数的几何意义得

，　（1）

，（2） ……2分

又，可得，即，故

由（1）得，代入，再由，得

，（3） ……4分

将代入（2）得，即方程有实根．

故其判别式得，或, （4）

由（3），（4）得；……6分

（2）由的判别式，

知方程有两个不等实根，设为，

又由知，为方程（）的一个实根，则有根与系数的关系得

， ……8分

当或时，，当时，，

故函数的递增区间为，由题设知，

因此，由（Ⅰ）知得的取值范围为；……10分

（3）由，即，即

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