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    广东省华南师大附中2007―2008学年度高三综合测试（三）数学试题（理科）

    1．已知命题p：，则                                                                   （C  ）

           A．                       B．

           C．                      D．

    2．已知函数，则a的所有可能值组成的集合为B

           A．{1}                    B．           C．{－}            D．{1，}

    3．命题p：若的充分不必要条件；

       命题q：函数，则                         （  A ）

           A．“p\/q”为假        B．“”为真     C．p真q假             D．p假q真

    4．不等式的解集是                                                                       （  A ）

    A．B．C．D．

    5．在等比数列{an}中，（ C  ）

           A．27                      B．－27                   C．             D．

    6．给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：

       ①“若”类比推出“”

     ②“若”类比推出

    “ ”

     ③“若”类比推出“若”

     ④“若”类比推出“若”

     其中类比结论正确的个数有A．1              B．2              C．3  D．4  （ B  ）

    7．在R上定义运算：.若不等式对任意实数x恒成立，则                         （  C ）

           A．        B．0<a<2                 C．      D．

     

    8．设函数，则实数a的取值范围是                                                     （  D ）

           A．              B．（0，1）              C．               D．

     

    9．若复数z满足方程，则z=1－i

     

    1,3,5

     

    11．函数的单调递减区间是

     

    12．若从集合P到集合Q={a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同映射共有64个.

     

    13．已知的最小值为9

    ∵当且仅当取等号

    14．将正整数排成下表：

        1

        2    3    4

        5    6    7    8    9

        10   11   12   13   14   15   16

        ……

    则数表中的300应出现在第18行.

    （由已知可知所有的数字为公差为1的等差数列，每行的数字个数为以1为首项，2为公差的等差数列，前n行数字个数为n2.）

    15．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=，且

    （1）求角C的大小；

    解：∵A+B+C=180°

        由  …………1分

        ∴   ………………3分

        整理，得   …………4分 解得：   ……5分

        ∵  ∴C=60°   ………………6分

    （2）求△ABC的面积.

    由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－2ab  …………7分

    ∴   …………8分  =25－3ab    9分   10分

    ∴   …………12分

    17．（本小题满分14分）

    在公差为d（d≠0）的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3.

       （1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）令，求数列{cn}的前n项和Tn.

    解：（1）由条件得：  …………6分

    （2）

      ①

      ②

    ①－②：

    即 

    ∴   …………14分

    16．（本小题满分12分）

    某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（量大供应量）如下表所示：

    产品

    消耗量

    资源

    甲产品（每吨）

    乙产品（每吨）

    资源限额（每天）

    煤（t）

    9

    4

    360

    电力（kw?h）

    4

    5

    200

    劳动力（个）

    3

    10

    300

    利润（万元）

    6

    12

     

    问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？

    解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨.获得利润z万元 ……1分

    依题意可得约束条件：   …………4分

    利润目标函数z=6x+12y  …………8分

    如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值.

    解方程组 ，得M（20，24）  …………11分

    所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润  …………12分

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    18．（本小题满分14分）

    如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米.

       （Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

    解：设AN的长为x米(x>2)

    ∵   ∴

    ∴  …………3分

    （Ⅰ）由SAMPN>32得，

    ∵

    ∴，即AN长的取值范围是  …………6分

    （Ⅱ）令 …………9分

    ∴当上单调递增，

    ∴函数上也单调递增   …………11分

    ∴当x=6时，取得最小值即SAMPN取得最小值27（平方米）

    此时|AN|=6米，|AM|=4.5米  …………13分

        答：当AM、AN的长度分别是4.5米，6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积是27平方米.   ………………14分

     

     

     

     

     

    19．（本小题满分14分）已知函数

    （Ⅰ）若上单调递增，求a的取值范围；

    解：（Ⅰ）由  …………2分

    欲使函数为上单调增函数，则上恒成立，

    即不等式上恒成立，也即  上恒成立  4分

    令，上述问题等价于，

    而上的减函数，则为所求.6分

    （Ⅱ）若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.试判断当是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明

    证明：由  得

      …7分   …8分

    而  ①  …………10分

    又  ② …………1分

    ∵∵   ③  …13分

    由①、②、③得   

    即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数 …………14分

    20．（本小题满分14分）

        已知数列

       （1）计算x2，x3，x4的值；

       （2）试比较xn与2的大小关系；

       （3）设，Sn为数列{an}前n项和，求证：当.

    解：（1）  …………3分

       （2）∵当

        又

    ∴

    以此类推有：  ………………8分

    （3）∵当时，

    ∴

    ∴

    ∴   …………14分

     


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