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    广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试

    数学试题(理科)

    本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时l20分钟。

    注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

               2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

              3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

              4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

    参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．

    如果事件、互斥，那么．

    如果事件、相互独立，那么．

    一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。

    1．若（i为虚数单位），则使的值可能是

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    A．0                   B．              C．                D．

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    2．设全集U=R，A=，则右图中阴

    影部分表示的集合为      

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         A．   B．  C．    D．

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    3．下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是

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    A．        B．       C．         D．

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    4．在等比数列中，则

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    ．3           ．           ．3或             ．或

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    5. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是

     

     

     

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    A.             B.           C.          D.

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    6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为

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    A．                B．              C．              D．

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    7．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是

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    Ａ．或  Ｂ．    Ｃ．    Ｄ． 

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    8．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推 出成立”．那么，下列命题总成立的是

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        Ａ．若成立，则当时，均有成立

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        Ｂ．若成立，则当时，均有成立

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        Ｃ．若成立，则当时，均有成立

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        Ｄ．若成立，则当时，均有成立

     

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    二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．

    9. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样

    本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为

    及格，不低于80分为优秀，则及格人数是     ；

    优秀率为             。

     

     

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    10．从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的概率是________.

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    11．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若，，且∠C=90°则的值是               ;

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    12．已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是                                                  （写出所有正确结论的编号）．

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    ①矩形；

    ②不是矩形的平行四边形；

    ③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；

    ④每个面都是等腰三角形的四面体；

    ⑤每个面都是直角三角形的四面体．

     

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    13．(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线和相交于点，则＝             ；

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    14．(不等式选讲选做题)若的最小值为3,

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    则实数的值是________.

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    15. （几何证明选讲选做题）如图，PA切于点A，割线

    PBC经过圆心O，OB=PB=1, OA绕点O逆时针旋转60°到OD，

    则PD的长为            .

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    三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

    16．（本小题满分12分）

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    如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C,测得，,且米。

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    （1）求；

    （2）求该河段的宽度。

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    17. （本小题满分14分）

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    在三棱锥中，,.

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    (1)      求三棱锥的体积；

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    (2)      证明:;

    (3)      求异面直线SB和AC所成角的余弦值。

     

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    18．（本小题满分14分）

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    设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.

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    （1）求点的轨迹方程；

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    （2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？

     

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    19．（本小题12分）

       如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，

           （1） 要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

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           （2） 若|AN| （单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

     

     

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    20．（本小题满分14分）

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    已知数列满足，且。

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    （1）求数列的通项公式；

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    (2) 证明；

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    （3）数列是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。

     

     

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    21.（本小题满分14分）

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    已知二次函数.

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    （1）若，试判断函数零点个数；

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    (2)若对且，，试证明，使成立。

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    (3)是否存在，使同时满足以下条件①对，且；②对,都有。若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2007年揭阳市高中毕业班高考调研测试

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    一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

    二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

    一．选择题：BBDC   DDAD

    1．将各选项代入检验易得答案选B.

    2．，图中阴影部分表示的集合为,选B.

    3．由函数以为周期，可排除A、B，由函数在为增函数，可排除C,故选D。

    4．或

    或，故选C。

    5．该程序的功能是求和,因输出结果，故选D.

    6．由已知得即

    ，故选D.

    7．如图：易得答案选A.

    8．若成立，依题意则应有当时，均有成立，故A不成立,

    若成立，依题意则应有当时，均有成立，故B不成立,

    因命题“当成立时，总可推 出成立”．“当成立时，总可推出成立”．因而若成立，则当时，均有成立 ，故C也不成立。对于D，事实上，依题意知当时，均有成立，故D成立。

    二．填空题：9.800、20％；10. ；11. 3；12. ①③④⑤；13. ；14. 2或8；15.

    9. 由率分布直方图知，及格率＝＝80％，

    及格人数＝80％×1000＝800，优秀率＝％.

    10．解一：任取3个球有C种结果，编号之和为奇数的结果数为CC+ C=60，故所求概率为.

    解二：十个球的编号中，恰好有5个奇数和5个偶数，从中任取3个球，3个球编号之和为奇数与3个球编号之和为偶数的机会是均等的，故所求概率为.

    11．由平面向量的坐标表示可得：

    由，得.

    12．由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体，

    显然①可能，②不可能，③④⑤如右图知都有可能。

    13．在平面直角坐标系中，曲线和分别表示圆和直线，易知＝

    14． 由，得或8

    15．解法1：∵PA切于点A，B为PO中点，

    ∴AB=OB=OA, ∴,∴,在△POD中由余弦定理

    得=

    ∴.

    解法2：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵，∴,可得,,在中，∴

    三．解答题：

    16．解：（1）

                  ------------------------4分

    （2）∵，

    ∴,

    由正弦定理得：

    ∴------------6分

    如图过点B作垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。

    在中，∵,------------8分

    ∴＝

           （米）

    ∴该河段的宽度米。---------------------------12分

    17．(1)解：∵

    ∴且,

    ∴平面------------ ----------------2分

    在中， ,

    中，

    ∵,

    ∴.--------------4分

    (2)证法1：由（1）知SA=2, 在中，---6分

    ∵,∴-------------------8分

    证法2：由（1）知平面，∵面，

    ∴,∵,,∴面

    又∵面，∴

    (3) 解法1：分别取AB、SA、 BC的中点D、E、F，

    连结ED、DF、EF、AF，则,

    ∴（或其邻补角）就是异面直线SB和AC所成的角----------10分

    ∵

    在中，

    ∴,

    在中，

    在△DEF中，由余弦定理得

    ∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为-------------------------14分

    解法2：以点A为坐标原点，AC所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图

    则可得点A(0,0,0),C(0,1,0),B

    ∴

    设异面直线SB和AC所成的角为

    则

    ∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为。

    18．解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线………………………………2分

    　　　　∵      ∴　

    ∴　曲线方程是………4分

    （2）设圆的圆心为，∵圆过，

    ∴圆的方程为　　……………………………7分

    令得：　　

    设圆与轴的两交点分别为，

    方法1：不妨设，由求根公式得

    ，…………………………10分

    ∴

    又∵点在抛物线上，∴，

    ∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分

    ∴当运动时，弦长为定值4…………………………………………………14分

    　〔方法2：∵，　

    ∴

    　又∵点在抛物线上，∴， ∴　　

    ∴当运动时，弦长为定值4〕

    19.解：设AN的长为x米（x >2）

           ∵，∴|AM|＝

    ∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝ ------------------------------------- 4分

    （1）由SAMPN > 32 得  > 32 ，

           ∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

           ∴       即AN长的取值范围是----------- 8分

    （2）令y＝，则y′＝  -------------- 10分

    ∵当，y′< 0，∴函数y＝在上为单调递减函数，

    ∴当x＝3时y＝取得最大值，即（平方米）

    此时|AN|＝3米，|AM|＝米             ---------------------- 12分

    20．解：（1）由得----------------------------------------1分

    由一元二次方程求根公式得---------------------------3分

    ∵

    ∴---------------------------------------------4分

     (2) ∵

    ∴

             ＝------------------------------------------------------------6分

    ∵

    ∴------------------------------------------------------------------------8分

    （其它证法请参照给分）

    （3）解法1：∵ 

    ∴

    ＝-------------------------------------------------10分

    ∵,∴

    ∴，∵

    ∴即

    ∴数列有最大项，最大项为第一项。---------- -14分

    〔解法2：由知数列各项满足函数

    ∵

    当时，

    ∴当时，即函数在上为减函数

    即有

    ∴数列有最大项，最大项为第一项。]

    21．解：

    （1） 

    ---------------2分

    当时，函数有一个零点；--------------3分

    当时，，函数有两个零点。------------4分

    （2）令，则

     ，

    在内必有一个实根。即，使成立。------------8分

    （3）       假设存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，且

    ∴

       -------------------------10分

    由②知对,都有

    令得

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