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第七单元  数列的求和、极限、数学归纳法

一.选择题

(1) 已知等差数列｛a_n｝的前n项和为S_n，且S₄=3，S₈=7，则S₁₂的值是                  (      )

 A  8     B  11                  C  12               D  15

(2) 已知数列满足，则=                         （      ）

A  0       B        C          D 

(3) 数列1,(1+2),(1+2+2²),…,( 1+2+2²+…+2^n-1+…)的前n项和是                                   (      )

A 2ⁿ            B 2ⁿ-2                C 2ⁿ⁺¹- n -2        D n?2ⁿ

(4) 从集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝中任选三个不同的数，如果这三个数经过适当的排列成等差数列，则这样的等差数列一共有                                                   (      )

A  20个 B  40个      C 10个                D 120个

(5) ＝                                                                                              (      )

A 2              B 4                     C                    D  0

(6) 如果为各项都大于零的等差数列，公差，则                                (      )

A     B       C          D

(7)已知等差数列｛a_n｝与｛b_n｝的前n项和分别为S_n与T_n, 若, 则的值是                                                                                                                                        (       )

A             B               C                     D 

(8) 的值是                                                                         (       )

A             B                  C                     D 

(9) 已知数列{log₂(a_n－1)}（n∈N^*）为等差数列，且a₁＝3，a₂＝5，则

=                                                         (       )

　　A   2　　    B  　　         C  1　　                        D 

(10) 已知数列满足,,….若,则  (       )

Ａ           Ｂ３                  Ｃ４                      Ｄ５

二.填空题

(11) 在等差数列｛a_n｝中，a₁＞0，a₅=3a₇，前n项和为S_n，若S_n取得最大值，则n=     .

(12) 在等差数列｛a_n｝中，前n项和为S_n，若S₁₉=31，S₃₁=19，则S₅₀的值是______

(13)在等比数列｛a_n｝中，若a₉?a₁₁=4，则数列｛｝前19项之和为_______

(14)若a>0,且a≠1, 则的值是                            .

三.解答题

(15) 设数列{a_n}的首项a₁=a≠，且,

记，n＝＝l，2，3，…?．

（I）求a₂，a₃；

（II）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

（III）求

(16) 数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求

   （I）a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式；

   （II）的值.

(17) 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

   （Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小，并说明理由.

.

(18)  已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：

  ，

，其中a为常数，k为非零常数.

（Ⅰ）令，证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）当时，求.

一选择题:

1.C 

[解析]：∵｛a_n｝等差数列，∴2(S₈ －S₄)= S₄＋(S₁₂－S₈)，且S₄=3，S₈=7，

则S₁₂=12

2.B  

[解析]：已知数列满足，

则有规律的重复了，故=。

3.C  

[解析]：∵( 1+2+2²+…+2^n-1)=2ⁿ－1

∴数列1,(1+2),(1+2+2²),…,( 1+2+2²+…+2^n-1+…)的前n项和为：

（2－1）+(2²－1)+…+(2ⁿ－1)= 2ⁿ⁺¹- n -2

4.B  

[解析]：当公差d为正时，若d=1，则这样的等差数列有8个

                                              若d=2，则这样的等差数列有6个

                                               若d=3，则这样的等差数列有4个

                                               若d=4，则这样的等差数列有2个

                                                共有20个

             当公差d为负时，也有20个。

5.C  

[解析]：==

6. B  

[解析]：因为为各项都大于零的等差数列，公差

              故   

故

7.C  

[解析]：因为等差数列｛a_n｝与｛b_n｝的前n项和分别为S_n与T_n,

则

若, 则==

8.C  

[解析]：

9.C  

[解析]：因为数列{log₂(a_n－1)}（n∈N^*）为等差数列，∴

故设log₂(a_n+1－1)－log₂(a_n－1)=d

又a₁＝3，a₂＝5，故d=1

∴,

故{a_n－1}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴a_n－1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ＋1，∴a_n+1－a_n=2ⁿ

=

则=1

10.B    

[解析]：因为数列满足,,….

则

     ，，

……

故

又，故

二填空题:

11.7或8       

[解析]：在等差数列｛a_n｝中，a₁＞0，∵a₅=3a₇，∴a₁＋4d= 3(a₁＋6d)

 ∴a₁=

∴S_n=n()＋d=，

∴n=7或8时， S_n取得最大值。 

12.－50        

[解析]：在等差数列｛a_n｝中，前n项和为S_n，

S₁₉=19a₁＋19×9d

S₃₁=31a₁＋31×15d

S₃₁－S₁₉=12 a₁＋12×

又S₁₉=31，S₃₁=19，

故a₁＋=－1

S₅₀=－50

13.－19   

[解析]：由题意a_n>0,且a₁?a₁₉ =a₂?a₁₈ =…=a₉?a₁₁=

               又a₉?a₁₁=4 ，故=

故+…+=

14. -2  (a>1时);  3  (0< a<1时).

[解析]：当0< a<1时，aⁿ=0,此时，=3，

      ：当 a>1时, =0，此时=

三解答题

(15)解（I）a₂＝a₁+=a+，a₃=a₂=a+；

（II）∵ a₄=a₃+=a+, 所以a₅=a₄=a+,

所以b₁=a₁－=a－, b₂=a₃－=(a－), b₃=a₅－=(a－),

猜想：{b_n}是公比为的等比数列?

    证明如下：

    因为b_n+1＝a_2n+1－=a_2n－=(a_2n－1－)=b_n, (n∈N*)

所以{b_n}是首项为a－, 公比为的等比数列?

（III）

(16) 解（I）由a₁=1，，n=1，2，3，……，得

，，，

由（n≥2），得（n≥2），

又a₂=，所以a_n=(n≥2),

∴ 数列{a_n}的通项公式为；

（II）由（I）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，∴  =

(17)解（Ⅰ）由题设 

（Ⅱ）若

当  故

若

当

故对于

(18)（Ⅰ）证明：由，可得

.由数学归纳法可证

.

 由题设条件，当时

因此，数列是一个公比为k的等比数列.

（Ⅱ）解：由（1）知，

当时，

当时，    .

而  

所以，当时,      .上式对也成立. 所以，数列的通项公式为. 当时

    。上式对也成立，所以，数列的通项公式为    ，

（Ⅲ）解：当时,  .

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