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第九单元  不等式的证明

一.选择题

(1) 已知，那么下列命题中正确的是                                                 （      ）

    A．若，则                        B．若，则

C．若，则                 D．若，则

(2) 设a>1，0<b<1，则的取值范围为                                        （      ）

A．             B．                C．               D．

(3) 设x＞0，P＝2^x+2^－x，Q＝(sinx+cosx)²，则                                                    （      ）

A．P≥Q                     B．P≤Q              C．P＞Q                   D．P＜Q

(4)命题p:若a、b∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.

命题q:函数y=的定义域是(-∞,-13,+∞).则                                         (      )

A ． “p或q”为假     B．  “p且q”为真   　 C．  p真q假   　　　 D ． p假q真

(5)如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是                      (      )

A．  ab>ac       　　　B．  c(b-a)>0       　  C．  cb²<ab²      　　　   D．  ac(a-c)<0

(6)若a、b为实数, 且a+b=2, 则3^a+3^b的最小值为                                                              (      )

A  ．18       　　　　 B ．6         　　　　　C  ．2    　　　　   D ．2

(7) 设p+q=1, p>0, q>0, 则不等式成立的一个充分条件是                           (      )

A ． 0<x<                B  ．<x<  　　　C  ．<x<1                 　D．  x>1

(8) 设，则的最大值是                                  （      ）

    A．                     B．                     C．                        D．2

 (9) 设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是                                                             (      )

   A．≥4          　　B．≥

C．≥        D．≥

(10) 设0<x<1,a、b为正常数，则的最小值为                                   （      ）

    A．4ab               B．                    C．                    D．

二.填空题

(11) 设a<0，－1<b<0，则a,ab,ab²从小到大的顺序为__________

(12) 设，则x+y的最小值为_________

(13)若<0,已知下列不等式:①a+b<ab  ②|a|>|b|  ③a<b  ④>2,

其中正确的不等式的序号为                 .

(14)设集合，则m的取值范围是        .

三.解答题

(15) 已知，，，，试比较A、B、C的大小.

(16) 已知正数x、y满足的最小值.

判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．

(17) 已知

(18) 已知函数在R上是增函数，.

（1）求证：如果；

（2）判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；

解不等式.

一选择题:

1.C  

[解析]：A．若，则（错），若c=0，则A不成立；

B．若，则 （错），            若c<0，则B不成立；

C．若，则（对），若，则

D．若，则（错），若，则D不成立。

2.D  

[解析]：∵∴a>1，0<b<1，∴

设，则；

则==

3.C 

[解析]： 2^x+2^－x（当且仅当x=0,等号成立），而x＞0，故P>2，

Q＝(sinx+cosx)²=1+sin2x，而 sin2x，故Q

4.D  

[解析]：取a=1,b=－1，可验证p假；

由，可得(-∞,-13,+∞)，故q真

5.C  

[解析]：取b=0，可验证C不成立。

6.B  

[解析]：∵a+b=2, ∴3^a+3^b

7.D 

[解析]：∵p+q=1, p>0, q>0,则由，得

                 若   x>1，则，则，故选D。

8.B 

[解析]：设，则，即

故=

9.B 

[解析]：∵a＞0, b＞0，∴

A． ≥≥4    故A恒成立，      　　

B．≥，取，则B不成立

C．－（ ）=   故C恒成立

D． 若 则≥恒成立

        若,则=2≥0，∴≥

        故D恒成立

10.C

[解析]：设，则

               =

二填空题:

11. a＜ab²＜ab  

[解析]：

12.

            [解析]：∵∴， x+y≥

13. ①,④

[解析]： ∵<0 , ∴b<<0,故②③错。

14. m>1

[解析]：∵，∴有解

        即，故m>1．

三解答题:

(15)证：不妨设，则，，由此猜想

由得，得，

得，即得.

(16) 解：错误. 等号当且仅当x=y时成立，又等号当且仅当x=2y时成立，而①②的等号同时成立是不可能的.

正确解法：因为x >0，y>0，且x +2y=1，

，当且仅当

∴这时

(17解,

∴（1）当a>1时，a－1>0  ∴上递增，∴

（2）当0<a<1时，a－1<0  ∴上递减，∴

   综上（1）（2）知：x>y.

(18) （1）证明：当

（2）中命题的逆命题为：   ①

①的逆否命题是：         ②

仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1）中命题的逆命题成立. 根据（2），所解不等式等价于

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