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第八单元  平面向量

一.选择题

(1) 若，且，则向量与的夹角为                            (       )

A  30°                       B  60°                          C  120°                        D  150°

(2) P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　  ）

　　A   外心　              B  内心　               C  重心　               D  垂心

(3)已知平行四边形ABCD中,  =(3, 7 ), =(-2, 3 ), 对角线AC, BD交于点O,

则的坐标为                                                                                                                  (        )

        A  (-, 5)                   B (-, -5)                 C (, -5)                    D (, 5) 

(4) 已知向量（       ）

A   30°                       B   60°                  C  120°              D  150°

(5)为了得到函数y＝sin(2x-)的图像,可以将函数y＝cos2x的图像                               (       )

A 向右平移个单位长度          B 向右平移个单位长度

C 向左平移个单位长度          D 向左平移个单位长度

(6) 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为                                                                                                    （      ）

A  （－2，4）       B （－30，25）       C （10，－5）         D （5，－10）

(7) 在△ABC中，∠C=90°，则k的值是               （      ）

A  5                           B  －5                      C                               D 

(8) 已知、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么| + 3 | =                                (       )

A                         B                          C                              D  4

(9) 已知点A（，1），B（0，0）C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于                                                                （      ）

A   2                  B                             C   －3                         D   －

(10) 已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则             （      ）

A  ⊥                B   ⊥(－)         C    ⊥(－)               D   (＋)⊥(－)

二.填空题

(11)已知向量，且A、B、C三点共线，则k=___

(12)已知向量与的夹角为120°,且||=2, ||=5,则(2-)?=         .

(13已知向量不超过5，则k的取值范围是_______

(14) 直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________

三.解答题

(15) 已知向量.

是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

(16)如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问

与的夹角θ取何值时，?的值最大？并求出这个最大值.

(17)已知两点M(-1,0), N(1, 0), 且点P使成公差小于零的等差数列.

(Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线?

(Ⅱ)若点P的坐标为(x_0, y₀), 记θ为,的夹角, 求tanθ.

（18）中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）设，求的值。

答案

一选择题:

1.C  

[解析]：若，设向量与的夹角为

∵，∴，则

∴

2.D  

[解析]：∵，则由得

              同理，即P是垂心

3.B  

[解析]：=(3, 7 ), =(-2, 3 ), ,

则

4.C  

[解析]：，∵，∴

5.B  

[解析]：y＝sin(2x-)=cos(2x-)=cos2(x- )，故选B

6.C 

[解析]：5秒后点P的坐标为（－10，10）+5（4，－3）= (10,- 5)

7.A 

[解析]： ∠C=90°，则∵∠C=90°

∴

8.C 

[解析]：已知、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么=

∴| + 3 |²=

9.C 

[解析]：设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，

那么

10.C

[解析]：已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|

             即 |－t|²≥|－|²    ∴

       即

二填空题:

11.

[解析]：向量，   

            ∴

又A、B、C三点共线

故（4-k,- 7）= (- 2k,- 2)

∴k=

12. 13 

[解析]：      (2-)?=2²- ?=2

13. [－6，2]

[解析]：

 5       ∴

14. x+2y-4=0

[解析]：∴(1,2)?(x,y)=4,∴x+2y-4=0

三解答题

(15)  已知向量.

当则2cosx=0

答：时，.

(16)解法一：∵⊥,∴?=0.

∵= -,=-,=-,

∴?=(-)?(-)

         =?-?-?+?

         = -a²-?+?

         = -a²-?(-)

         = -a²+?

         = -a²+ a²cosθ.

故当cosθ=1,即θ=0 (与方向相同)时, ?最大,最大值为0.

解法二:以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角

坐标系.

设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(0,0),C(0,0).

且|PQ|=2a,|BC|=a.

设点P的坐标为(x,y),则Q(-x, -y),

∴=(x-c, y),=( -x, -y- b).

=(-c, b), =(-2x, -2y).

?=( x-c)(-x)+ y(-y- b)= - (x²+y²)+ c x- b y .

∵cosθ=,