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第十六单元  排列、组合、二项式定理和概率

一.选择题

(1) 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则则不同的选择方案                                              (      )

A．300种                      B．240种                 C．144种       D．96种

(2) 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为              (      )

       A．         B．          C．         D．

(3) 的展开式中，含x的正整数次幂的项共有                                       (      )

       A．4项                    B．3项                      C．2项                  D．1项

(4)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中, 那么不同插法的种数为                                                        (      )

A．42                         B． 96                          C． 48                       D． 124

(5) 设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是                            (      )

　　A．20　                    B．19                        C．18                     D．16

(6)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有                                                                                                      (      )

A．  140种                   B．  120种                   C． 35种                 D．  34种

(7) 四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为                                                       (      )

A．96                         B．48                       C．24             D．0

(8) 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为(      )

       A．70                          B．140                      C．280                   D．840

(9)四面体的顶点和各棱中点共10个点, 在其中取4个不共面的点, 则不同的取法共有(      )

A． 150种                     B． 147种                    C． 144种                D． 141种

(10) 从数字１，２，３，４，５中，随机抽取３个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于９的概率为                                                                                          (      )

Ａ．                       Ｂ．                      Ｃ．                   Ｄ． 

二.填空题

(11)若, 则n的值为           .

(12) 一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是                .

(13) 若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为         ..

(14) 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是               (结果用最简分数表示).

三.解答题

(15) 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：

　　①能组成多少个没有重复数字的七位数？

　　②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？

　　③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？

　　④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？

(16) 从1到100的自然数中, 每次取出不同的两个数, 使它的和大于100, 则不同的取法有多少种.

(17) 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．

  (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．

(i)恰好有3次摸到红球的概率；

(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．

  (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值． 

(18)  甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。

（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；

（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

（Ⅲ）假设两人连续两次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？

一选择题:

1.B  

[解析]: 甲、乙两人不去巴黎游览，故4人中选1人去巴黎游览有：种情况，

            去伦敦、悉尼、莫斯科游览分别有种情况，

            则不同的选择方案共有：4×5×4×3=120种

2.A  

[解析]: 先从14名志愿者挑选12名参加接待工作，再从12人中依次挑选早、中、晚三班各4人，则开幕式当天不同的排班种数为=

3.B

[解析]:  展开式的通项为

故含x的正整数次幂的项即6（）为整数的项

共有3项，即r=0或r=6或r=12

4.C

[解析]: 方法一：  分2种情况：（1）增加的两个新节目相连，（2）增加的两个新节目不相连；故不同插法的种数为

               方法二：7个节目的 全排列为，两个新节目插入原节目单中, 那么不同插法的种数为

5.C

[解析]:  从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，取法数为，而当时所得直线重合，故所得不同直线为－2=18（条）

6.D

[解析]:  从反面考虑，7人任意选4人的 方法数减去全选男生的 方法数即为所求

              故既有男生又有女生的不同的选法共有

7.B

[解析]:   8种化工产品分4组，

对应于四棱锥没有公共点的8条棱分4组，

只有2种情况，

如图，（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）

或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）

那么安全存放的不同方法种数为

2=48

8.A

[解析]:   不同分组方法的种数为

9.D

[解析]:   从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的 情况有三类。第一类，取出的 4个点位于四面体的 同一个面上，有4种；第二类，取任一条棱上的 3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的 取法共有－4－6－3=141种

10.D

[解析]: 从数字１，２，３，４，５中，随机抽取３个数字（允许重复）组成一个三位数，共有5³=125个。

若各位数字之和等于９，则可取的数字组合有5种，分别为1、3、5；2、3、4；1、4、4；2、2、5；3、3、3；共有19个数，故所求概率为。

二填空题:

11.  7   

[解析]:     若，则，故n－3=4, n=7

12.  0.9728

[解析]:    考虑反面简单些，至多2台机床需要工人照看的概率:

13.   

[解析]: 若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为                    

14. 

[解析]: 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是

三解答题

(15) 解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有 种情况；

第二步在5个奇数中取4个，可有 种情况；

第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有种情况，

所以符合题意的七位数有个．

　　    ②上述七位数中，三个偶数排在一起的有个．

③上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有

个．

④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有个．

说明；对于有限制条件的排列问题，常可分步进行，先组合再排列，这是乘法原理的典型应用．

(16) 解: 从1,2,3,…,97,98,99,100中取出1, 有1+100>100, 取法数1个;

取出2, 有2+100>100,2+99>100, 取法数2个;

取出3, 取法数3个; …,

取出50, 有50+51>100, 50+52>100, …,50+100>100, 取法有50个.

所以取出数字1至50, 共得取法数N₁=1+2+3+…+50=1275.

取出51, 有51+52>100, 51+53>100, …,51+100>100, 共49个;

取出52, 则有48个; …,

取出100, 只有1个.

所以取出数字51至100(N₁中取过的不在取), 则N₂=49+48+…+2+1=1225.

故总的取法有N=N₁+N₂=2500个.

(17) 解：(Ⅰ)（?）

（?）.

        (Ⅱ)设袋子A中有个球，袋子B中有个球，

由，得

(18) 解: （Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A₁，

由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，

故P（A₁）=1- P（）=1-=。

答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；

       (Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A₂，

“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B₂，则

，

，

由于甲、乙设计相互独立，

故。

答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；

（Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A₃，

“乙第i次射击为击中” 为事件D_i，（i=1，2，3，4，5），则A₃=D₅D₄，且P（D_i）=，

由于各事件相互独立，

故P（A₃）= P（D₅）P（D₄）P（）

=×××（1-×）

=，

答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是。

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