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华南师大附中2007―2008学年度高三综合测试（二）
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
试题详情
2．若θ是第二象限的角，则下列四个值中，恒小于零的是 （ ） A． B． C． D．cot
3．已知上是单调增函数，则a的最大值是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1=3，前三项的和为21，则a3+ a4+ a5= （ ）
A．33 B．72 C．84 D．189
叶形图（阴影部分），其面积是 （ ）
A．1 B．
C． D．
6．已知上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为 （ ）
A．－37 B．－29 C．－5 D．－11
7．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有 （ ）
A．9个 B．8个 C．5个 D．4个
8．已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数有下列几种描述
①是周期函数 ②是它的一条对称轴
③是它图象的一个对称中心 ④当时，它一定取最大值
其中描述正确的是 （ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．已知等差数列{an}前17项和S17=51，则a7+ a11=
2,4,6
11．在4和67之间插入一个n项的等差数列后，仍是一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n的值为
12．已知函数的定义域，则函数的定义域是
13．在△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C、的对边，若a，b，c成等差数列，，且△ABC的面积为，则b=
14．规定一种运算：，例如：12=1，32=2，则函数的值域为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求证：函数是偶函数；
（Ⅱ）判断函数分别在区间上的单调性，并加以证明.
16．（本小题满分12分）
已知函数的图象经过点A（0，1）、B（）. 当时，的最大值为
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）由的图象经过怎样的变换可得到的图象.
17．（本小题满分14分）
在数列
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和Sn.
18．（本小题满分14分）
19．（本小题满分14分）
已知b>－1，c>0，函数的图象与函数的图象相切.
（Ⅰ）设
（Ⅱ）是否存在常数c，使得函数内有极值点？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分14分）
已知函数，若存在，则称是函数的一个不动点，设
（Ⅰ）求函数的不动点；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点a、b（假设a>b），求使恒成立的常数k的值；
（Ⅲ）对由a1=1，an=定义的数列{an}，求其通项公式an.
一、选择题
1．C 解析：关于y轴的对称图形，可得的
图象，再向右平移一个单位，即可得的图象，即的图
2．A 解析：由题可知，故选A.
3．D 解析：上恒成立，即恒成立，故选D.
4．C 解析：令公比为q，由a1=3，前三项的和为21可得q2+q－6=0，各项都为正数，所以q=2，所以，故选C.
5．C 解析：由图可知，阴影部分面积.
6．A 解析：故在[－2，2]上最大值为，所以最小值为，故选A.
7．A 解析：y值对应1，x可对应±1，y值对应4，x可对应±2，故定义域共有{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{－，1，－2，2}共9种情况.
8．B 可采取特例法，例皆为满足条件的函数，一一验证可知选B.
二、填空题：
9．答案：6 解析：∵ ∴a7+a11=6.
10．答案a=3、2π 解析：的上半圆
面积，故为2π.
11．答案：20 解析：由数列相关知识可知
12．答案：
解析：由题可知 ，故定义域为
13．答案：2 解析：由a，b，c成等差数列知①，由②，
由c>b>a知角B为锐角，③，联立①②③得b=2.
故当时，
三、解答题：
15．解：（Ⅰ）由题可知函数定义域关于原点对称.
当，
则，
∴
当
综上所述，对于，∴函数是偶函数.
（Ⅱ）当x>0时，，
设
∴函数上是减函数，函数上是增函数.
（另证：当；
∵
∴函数上是减函数，在上是增函数.
16．解：（Ⅰ）∵函数图象过点A（0，1）、B（，1）
∴b=c
∵当
∴ ③
联立②③得
（Ⅱ）①由图象上所有点向左平移个单位得到的图象
②由的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到
的图象
③由的图象上所有点向下平移一个单位，得到
17．（1）证明：由题设，得
又a1－1=1，
所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列{ an }的通项公式为
所以数列{an}的前n项和
18．分析：求停车场面积，需建立长方形的面积函数. 这里自变量的选取十分关键，通常有代数和三角两种设未知数的方法，如果设长方形PQCR的一边长为x（不妨设PR=x），则另一边长，
这样SPQCR=PQ?PR=x?（100－），但该函数的最值不易求得，如果将∠BAP作为自变量，用它可表示PQ、PR，再建立面积函数，则问题就容易得多，于是可求解如下；
解：延长RP交AB于M，设∠PAB=，则
AM=90
设， ∵
∴当，SPQCR有最大值
答：长方形停车场PQCR面积的最大值为平方米.
19．解：（Ⅰ）【方法一】由，
依题设可知，△=（b+1）2－4c=0.
∵.
【方法二】依题设可知
∴为切点横坐标，
于是，化简得
同法一得
（Ⅱ）由
可得
令依题设欲使函数内有极值点，
则须满足
亦即 ，
又
故存在常数，使得函数内有极值点.
（注：若，则应扣1分. ）
20．解：（Ⅰ）设函数
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
可知使恒成立的常数k=8.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
可知数列为首项，8为公比的等比数列
即以为首项，8为公比的等比数列. 则
.
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B．
C．
D．cot
上是单调增函数，则a的最大值是 （ ）
D．
上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为 （ ）
是定义在R上的奇函数，且
为偶函数，对于函数
是它的一条对称轴
是它图象的一个对称中心 ④当
时，它一定取最大值
的定义域
，则函数
的定义域是
，且△ABC的面积为
，则b=
，例如：1
2=1，3
的值域为
. 
上的单调性，并加以证明. 
的图象经过点A（0，1）、B（
）. 当
时，
的图象经过怎样的变换可得到
是等比数列；
}的前n项和Sn.
的图象与函数
的图象相切. 
内有极值点？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由. 
，则
称是函数
恒成立的常数k的值；
定义的数列{an}，求其通项公式an. 
关于y轴的对称图形，可得
的
的图象，即
的图
，故选A. 
上恒成立，即
恒成立，故选D. 
，故选C. 
. 
故在[－2，2]上最大值为
，所以最小值为
，故选A. 
皆为满足条件的函数，一一验证可知选B. 
∴a7+a11=6.
的上半圆
，故定义域为
①，由
②，
③，联立①②③得b=2. 
时，
，
， 
，
，∴函数
是偶函数. 
，
上是减函数，函数
上是增函数. 
；
上是增函数. 
，1）
∴b=c
③
图象上所有点向左平移
个单位得到
的图象
倍，得到
的图象
，得
，于是数列{ an }的通项公式为
，
），但该函数的最值不易求得，如果将∠BAP作为自变量，用它可表示PQ、PR，再建立面积函数，则问题就容易得多，于是可求解如下；
，则
， ∵
，SPQCR有最大值
平方米. 
，
. 
为切点横坐标，
，化简得
依题设欲使函数
内有极值点，
，
，使得函数
，则应扣1分. ）
恒成立的常数k=8. 
为首项，8为公比的等比数列
为首项，8为公比的等比数列. 则
.